Calcule
\oiint_{\partial V} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde
\vec{F}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k} e
V é o cubo unitário (no primeiro octante). Performe o cálculo diretamente e verifique sua resposta usando o Teorema da Divergência.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} através da superfície \partial V do cubo V=[0,1]^3 no primeiro octante. Vamos calcular diretamente a integral de superfície, somando o fluxo em cada face, e depois verificar o resultado aplicando o Teorema da Divergência, que diz que
\oiint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_V(\nabla\cdot\vec{F})\,dV.

Passo 2

Faces x=0 e x=1:
  • Em x=0 o vetor normal externo é -\vec{i}, logo
    \vec{F}\cdot(-\vec{i})=-x\big|_{x=0}=0. A área da face é 1, então o fluxo é 0.
  • Em x=1 o normal externo é \vec{i}, logo
    \vec{F}\cdot\vec{i}=x\big|_{x=1}=1. A área é 1, então o fluxo é 1.

Passo 3

Faces y=0 e y=1:
  • Em y=0 o normal externo é -\vec{j}, logo
    \vec{F}\cdot(-\vec{j})=-y\big|_{y=0}=0. Fluxo 0.
  • Em y=1 o normal é \vec{j}, logo
    \vec{F}\cdot\vec{j}=y\big|_{y=1}=1. Área 1, fluxo 1.

Passo 4

Faces z=0 e z=1:
  • Em z=0 o normal externo é -\vec{k}, logo
    \vec{F}\cdot(-\vec{k})=-z\big|_{z=0}=0. Fluxo 0.
  • Em z=1 o normal é \vec{k}, logo
    \vec{F}\cdot\vec{k}=z\big|_{z=1}=1. Área 1, fluxo 1.

Passo 5

Somando os fluxos das seis faces obtemos
0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 \;=\;3.

Passo 6

Usando o Teorema da Divergência, calculamos
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z} =3.
Então
\iiint_V(\nabla\cdot\vec{F})\,dV =\int_0^1\int_0^1\int_0^1 3\,dx\,dy\,dz =3.
Isso confirma o resultado do cálculo direto.

Resposta

\oiint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=3.

Exercícios relacionados