Sejam X e Y duas V.A
Seja Z=X+Y. Obtenha: fZ(z)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias fZ(z) ;=;integral-infty^infty fX,Yl(x,,z-xr),dx e , e queremos a densidade da soma . Isso é um tema de distribuição de soma de variáveis contínuas, que envolve o conceito de convolução de densidades. Para resolver, vamos usar:
  • A definição de densidade conjunta .
  • A relação entre densidade de soma e densidade conjunta:
  • E, se e forem independentes, a fatoração .

Passo 2

Primeiro, lembra que a densidade conjunta de fZ(z) ;=;integral-infty^infty fX,Yl(x,,z-xr),dx é a função que dá a probabilidade de estar perto de e perto de . Para achar a do , usamos a propriedade de transformação de variáveis:
Isso faz sentido se você pensar que, pra ser exatamente , pode tomar qualquer valor e tem que valer .

Passo 3

Agora, se assumirmos que fX,Y(x,y) ;=; fX(x);times;fY(y) e fZ(z) ;=; integral-infty^infty fX(x);fYl(z - xr),dx são independentes, vale
Substituindo na integral, a gente obtém a convolução:
Essa é a fórmula padrão que junta as duas densidades ao somar as variáveis.

Resposta

boxed fZ(z) = integral-infty^infty fX(x),fYl(z - xr),dx

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