Sejam
e
duas V.A
Seja
. Obtenha:
Seja
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias
e
, e queremos a densidade da soma
. Isso é um tema de distribuição de soma de variáveis contínuas, que envolve o conceito de convolução de densidades. Para resolver, vamos usar:
- A definição de densidade conjunta
. - A relação entre densidade de soma e densidade conjunta:
- E, se
e forem independentes, a fatoração .
Passo 2
Primeiro, lembra que a densidade conjunta de
é a função que dá a probabilidade de
estar perto de
e
perto de
. Para achar a do
, usamos a propriedade de transformação de variáveis:
Isso faz sentido se você pensar que, pra
ser exatamente
,
pode tomar qualquer valor
e
tem que valer
.
Passo 3
Agora, se assumirmos que
e
são independentes, vale
Substituindo na integral, a gente obtém a convolução:
Essa é a fórmula padrão que junta as duas densidades ao somar as variáveis.