Sejam
e
duas variáveis aleatórias discretas independentes. A distribuição de probabilidade de
é dada por
e
, caso contrário.
A distribuição de probabilidade de
é dada por
e
, caso contrário.
(a) Determine a função de probabilidade conjunta
(b) Construa a tabela da distribuição conjunta de
e
.
(c) Calcule
(e) Determine
A distribuição de probabilidade de
(a) Determine a função de probabilidade conjunta
(c) Calcule
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Distribuição de
: -
para . -
caso contrário.
-
- Distribuição de
: -
para . -
caso contrário.
-
O enunciado pede:
- (a) Determinar a função de probabilidade conjunta
. - (b) Construir a tabela da distribuição conjunta de
e . - (c) Calcular
. - (e) Determinar
.
Passo 2
Conceito importante e ferramenta que vamos usar: independência e a regra do produto para variáveis discretas independentes.
- Definição prática: se
e são independentes, então para quaisquer valores vale
- O que significa isso na prática? Basta multiplicar as probabilidades marginais para obter a probabilidade conjunta para cada par
.
Vou usar essa regra porque o enunciado diz que
e
são independentes.
Passo 3
Usando a regra do produto (já que
e
são independentes), a função conjunta é, para
e
,
Simplificando o produto:
Para qualquer outro par
fora desses valores,
.
Passo 4
Vamos calcular explicitamente cada valor numérico da tabela (pegando os dados das distribuições fornecidas):
- Para
: para . - Para
: para . - Para
: para .
Também vale a verificação rápida (cheque de consistência): a soma de todas as probabilidades conjuntas deve ser
. Somando:
o que confirma que está correto.
Passo 5
Agora construo a tabela da distribuição conjunta de
e
. Organizo com
variando nas linhas e
nas colunas.
Passo 6
Calcular
. Por definição de evento e usando a tabela, isso é a soma das probabilidades conjuntas para
e
com
:
Substituindo os valores que calculamos:
Fazendo a soma com denominador comum
:
Passo 7
Calcular
. Listamos todos os pares
possíveis e verificamos quais satisfazem
, lembrando que
e
.
-
satisfaz . -
satisfaz . -
não é possível porque não pode ser .
Então
Substituindo os valores:
Resposta
(a)
para
e
;
caso contrário.
(b)
(c)
(e)
]