Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas independentes. A distribuição de probabilidade de X é dada por
P(X=x)=\frac{x}{6}, \quad x=1,2,3
e P(X=x)=0, caso contrário.
A distribuição de probabilidade de Y é dada por
P(Y=y)=\frac{1}{2}, \quad y=0,1
e P(Y=y)=0, caso contrário.
(a) Determine a função de probabilidade conjunta
p_{X, Y}(x, y)=P(X=x, Y=y) .
(b) Construa a tabela da distribuição conjunta de X e Y.
(c) Calcule
P(X \geq 2, Y=1) .
(e) Determine
P(X+Y=3)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Distribuição de X:
    • P(X=x)=\dfrac{x}{6} para x=1,2,3.
    • P(X=x)=0 caso contrário.
  • Distribuição de Y:
    • P(Y=y)=\dfrac{1}{2} para y=0,1.
    • P(Y=y)=0 caso contrário.
O enunciado pede:
  • (a) Determinar a função de probabilidade conjunta p_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y).
  • (b) Construir a tabela da distribuição conjunta de X e Y.
  • (c) Calcular P(X\ge 2,\,Y=1).
  • (e) Determinar P(X+Y=3).

Passo 2

Conceito importante e ferramenta que vamos usar: independência e a regra do produto para variáveis discretas independentes.
  • Definição prática: se X e Y são independentes, então para quaisquer valores x,y vale
P(X=x,\;Y=y)=P(X=x)\,P(Y=y).
  • O que significa isso na prática? Basta multiplicar as probabilidades marginais para obter a probabilidade conjunta para cada par (x,y).
Vou usar essa regra porque o enunciado diz que X e Y são independentes.

Passo 3

Usando a regra do produto (já que X e Y são independentes), a função conjunta é, para x\in\{1,2,3\} e y\in\{0,1\},
p_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y)=P(X=x)\,P(Y=y)=\frac{x}{6}\cdot\frac{1}{2}.
Simplificando o produto:
p_{X,Y}(x,y)=\frac{x}{12},\qquad x=1,2,3,\;\; y=0,1.
Para qualquer outro par (x,y) fora desses valores, p_{X,Y}(x,y)=0.

Passo 4

Vamos calcular explicitamente cada valor numérico da tabela (pegando os dados das distribuições fornecidas):
  • Para x=1: p_{X,Y}(1,y)=\dfrac{1}{12} para y=0,1.
  • Para x=2: p_{X,Y}(2,y)=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6} para y=0,1.
  • Para x=3: p_{X,Y}(3,y)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4} para y=0,1.
Também vale a verificação rápida (cheque de consistência): a soma de todas as probabilidades conjuntas deve ser 1. Somando:
2\!\left(\tfrac{1}{12}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{4}\right) =2\!\left(\tfrac{1}{12}+\tfrac{2}{12}+\tfrac{3}{12}\right) =2\cdot\tfrac{6}{12}=2\cdot\tfrac{1}{2}=1,
o que confirma que está correto.

Passo 5

Agora construo a tabela da distribuição conjunta de X e Y. Organizo com X variando nas linhas e Y nas colunas.
\begin{array}{c|cc} p_{X,Y}(x,y) & y=0 & y=1\\hline x=1 & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{12}\\[6pt] x=2 & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6}\\[6pt] x=3 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \end{array}]

Passo 6

Calcular P(X\ge 2,\,Y=1). Por definição de evento e usando a tabela, isso é a soma das probabilidades conjuntas para x=2 e x=3 com y=1:
P(X\ge 2,\,Y=1)=P(X=2,Y=1)+P(X=3,Y=1).
Substituindo os valores que calculamos:
P(X\ge 2,\,Y=1)=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}.
Fazendo a soma com denominador comum 12:
\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}.

Passo 7

Calcular P(X+Y=3). Listamos todos os pares (x,y) possíveis e verificamos quais satisfazem x+y=3, lembrando que x\in\{1,2,3\} e y\in\{0,1\}.
  • (x,y)=(3,0) satisfaz 3+0=3.
  • (x,y)=(2,1) satisfaz 2+1=3.
  • (x,y)=(1,2) não é possível porque y não pode ser 2.
Então
P(X+Y=3)=P(X=3,Y=0)+P(X=2,Y=1).
Substituindo os valores:
P(X+Y=3)=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}.

Resposta

(a) p_{X,Y}(x,y)=\dfrac{x}{12} para x=1,2,3 e y=0,1; p_{X,Y}(x,y)=0 caso contrário.
(b)
\begin{array}{c|cc} p_{X,Y}(x,y) & y=0 & y=1\\hline x=1 & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{12}\\[6pt] x=2 & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6}\\[6pt] x=3 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \end{array}
(c) P(X\ge 2,\,Y=1)=\dfrac{5}{12}
(e) P(X+Y=3)=\dfrac{5}{12}]

Exercícios relacionados