Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído de acordo com uma Normal de média 90 minutos e desvio padrão de 20 minutos.
  • Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se 65 candidatos tomam o teste, quantos são esperados passar?
  • Se os 5 \% melhores candidatos são alocados para aeronaves maiores, quão rápido deve ser o candidato para que obtenha essa posição?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • O tempo para completar o teste é distribuído segundo uma Normal com média \mu=90 minutos e desvio padrão \sigma=20 minutos.
    • O número de candidatos é 65.
  • Perguntas:
    1. Quantos, entre os 65 candidatos, são esperados passar se para passar o candidato deve completar o teste em menos de 80 minutos?
    2. Se os 5\% melhores (os mais rápidos) são escolhidos para aeronaves maiores, qual é o tempo-limite (em minutos) que garante estar entre esses 5\%?

Passo 2

Entender o modelo probabilístico e a ideia-chave.
  • Representação: chamo o tempo de conclusão aleatório de X. Então X \sim \mathcal{N}\bigl(\mu=90,\\ \sigma^{2}=20^{2}\bigr).Aqui \mu é a média (tempo típico) e \sigma é o desvio padrão (dispersion).
  • Para transformar X numa variável padrão (de média 0 e desvio 1) uso a transformação Z=\frac{X-\mu}{\sigma},onde Z tem distribuição Normal padrão \mathcal{N}(0,1).
  • Probabilidades de forma P(X<\text{algum valor}) são obtidas convertendo para Z e consultando a tabela da Normal padrão ou usando a função inversa.

Passo 3

Resolver a primeira pergunta (probabilidade de passar).
  • Queremos P(X<80). Aplicando a transformação para Z: Z=\frac{80-90}{20}=\frac{-10}{20}=-0,5.
  • Então P(X<80)=P\!\left(Z<-0,5\right).
  • Usando a tabela da Normal padrão (ou calculadora), o valor acumulado em -0,5 é aproximadamente 0,3085. Em palavras: cerca de 30,85\% dos candidatos completam em menos de 80 minutos.
    • Observação rápida sobre a tabela: a tabela dá P(Z\le z). Para z=-0,5 encontra-se P(Z\le -0,5)\approx 0,3085. Se não tiver a tabela, pode usar simetria: P(Z\le -0,5)=1-P(Z\le 0,5) e P(Z\le 0,5)\approx 0,6915.

Passo 4

Converter a probabilidade em número esperado de candidatos que passam.
  • O número de aprovados entre 65 é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetro n=65 e p=P(X<80).
  • O valor esperado dessa binomial é n p. Assim: \text{Esperados} = 65 \times 0,3085 \approx 20,055.
  • Interpretação prática: em média espera-se que cerca de 20 candidatos (arredondando para inteiro) completem em menos de 80 minutos.

Passo 5

Resolver a segunda pergunta (tempo que separa os melhores 5\%).
  • "Melhores 5\%" significa os 5\% mais rápidos, ou seja, os que têm tempos menores que o percentil de ordem 0{,}05. Procuramos t tal que P(X<t)=0{,}05.
  • Passo para Z: queremos z_{0{,}05} tal que P(Z<z_{0{,}05})=0{,}05. Da tabela inversa da Normal padrão sabe-se que z_{0{,}05}\approx -1{,}645.(valor padrão para o percentil 5\%.)
  • Volto para X usando t=\mu+z\sigma: t = 90 + (-1{,}645)\times 20 = 90 - 32{,}9 = 57{,}1\\ \text{minutos}.
  • Interpretação: para estar entre os melhores 5\% o candidato precisa completar o teste em cerca de 57{,}1 minutos ou menos.

Passo 6

Pequenas observações práticas e arredondamentos.
  • Resultados apresentam-se com duas formas: valor exato em média e arredondado para aplicação prática.
  • Se preferir reportar o número esperado como inteiro, diga 20 candidatos (pois não se pode ter fração de pessoa); matematicamente o valor esperado é 20{,}055.

Resposta

65\times P(X<80)=65\times 0,3085\approx 20{,}055 (aproximadamente 20 candidatos)
Tempo-limite para estar entre os 5\% melhores: 57{,}1 minutos

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