Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído de acordo com uma Normal de média 90 minutos e desvio padrão de 20 minutos.
- Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se 65 candidatos tomam o teste, quantos são esperados passar?
- Se os
melhores candidatos são alocados para aeronaves maiores, quão rápido deve ser o candidato para que obtenha essa posição?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- O tempo para completar o teste é distribuído segundo uma Normal com média
minutos e desvio padrão minutos. - O número de candidatos é
.
- O tempo para completar o teste é distribuído segundo uma Normal com média
-
Perguntas:
- Quantos, entre os
candidatos, são esperados passar se para passar o candidato deve completar o teste em menos de minutos? - Se os
melhores (os mais rápidos) são escolhidos para aeronaves maiores, qual é o tempo-limite (em minutos) que garante estar entre esses ?
- Quantos, entre os
Passo 2
Entender o modelo probabilístico e a ideia-chave.
- Representação: chamo o tempo de conclusão aleatório de
. Então Aqui é a média (tempo típico) e é o desvio padrão (dispersion). - Para transformar
numa variável padrão (de média 0 e desvio 1) uso a transformação onde tem distribuição Normal padrão . - Probabilidades de forma
são obtidas convertendo para e consultando a tabela da Normal padrão ou usando a função inversa.
Passo 3
Resolver a primeira pergunta (probabilidade de passar).
- Queremos
. Aplicando a transformação para : - Então
- Usando a tabela da Normal padrão (ou calculadora), o valor acumulado em
é aproximadamente . Em palavras: cerca de dos candidatos completam em menos de minutos. - Observação rápida sobre a tabela: a tabela dá
. Para encontra-se . Se não tiver a tabela, pode usar simetria: e .
- Observação rápida sobre a tabela: a tabela dá
Passo 4
Converter a probabilidade em número esperado de candidatos que passam.
- O número de aprovados entre
é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetro e . - O valor esperado dessa binomial é
. Assim: - Interpretação prática: em média espera-se que cerca de
candidatos (arredondando para inteiro) completem em menos de minutos.
Passo 5
Resolver a segunda pergunta (tempo que separa os melhores
).
- "Melhores
" significa os mais rápidos, ou seja, os que têm tempos menores que o percentil de ordem . Procuramos tal que - Passo para
: queremos tal que . Da tabela inversa da Normal padrão sabe-se que (valor padrão para o percentil .) - Volto para
usando : - Interpretação: para estar entre os melhores
o candidato precisa completar o teste em cerca de minutos ou menos.
Passo 6
Pequenas observações práticas e arredondamentos.
- Resultados apresentam-se com duas formas: valor exato em média e arredondado para aplicação prática.
- Se preferir reportar o número esperado como inteiro, diga
candidatos (pois não se pode ter fração de pessoa); matematicamente o valor esperado é .
Resposta
Tempo-limite para estar entre os