Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, cuja função conjunta é dada por
p_{X, Y}(x, y)=\frac{x+y}{21}, \quad x=1,2,3, \quad y=1,2
e p_{X, Y}(x, y)=0, caso contrário.
(a) Construa a tabela da distribuição conjunta de X e Y. Verifique que p_{X, Y}(x, y) é uma função de probabilidade conjunta.
(b) Determine as distribuições marginais de X e Y.
(c) Calcule P(X \leq 2, Y=2).
(d) Verifique se X e Y são independentes.

Passo 1

O enunciado dá a função de probabilidade conjunta e pede quatro coisas. Informações fornecidas:
  • A função conjunta é p_{X,Y}(x,y)=\frac{x+y}{21},\qquad x=1,2,3,\; y=1,2, e p_{X,Y}(x,y)=0 caso contrário.
  • Perguntas:
    (a) Construir a tabela da distribuição conjunta de X e Y e verificar que é uma função de probabilidade (não-negatividade e soma igual a 1).
    (b) Determinar as distribuições marginais de X e Y.
    (c) Calcular P(X\le 2,\,Y=2).
    (d) Verificar se X e Y são independentes.

Passo 2

Vamos calcular cada valor da tabela aplicando p_{X,Y}(x,y)=\frac{x+y}{21}.
  • Para (x,y)=(1,1): p_{X,Y}(1,1)=\frac{1+1}{21}=\frac{2}{21}.
  • Para (1,2): p_{X,Y}(1,2)=\frac{1+2}{21}=\frac{3}{21}.
  • Para (2,1): p_{X,Y}(2,1)=\frac{2+1}{21}=\frac{3}{21}.
  • Para (2,2): p_{X,Y}(2,2)=\frac{2+2}{21}=\frac{4}{21}.
  • Para (3,1): p_{X,Y}(3,1)=\frac{3+1}{21}=\frac{4}{21}.
  • Para (3,2): p_{X,Y}(3,2)=\frac{3+2}{21}=\frac{5}{21}.
Montando a tabela (linhas em x, colunas em y):
\begin{array}{c|cc} p_{X,Y}(x,y) & y=1 & y=2\\hline x=1 & \dfrac{2}{21} & \dfrac{3}{21} \\\ x=2 & \dfrac{3}{21} & \dfrac{4}{21} \\\ x=3 & \dfrac{4}{21} & \dfrac{5}{21} \\\ \end{array}

Passo 3

Verificação de que é uma função de probabilidade conjunta:
  • Não-negatividade: todos os termos \dfrac{x+y}{21} com x,y positivos são positivos, logo p_{X,Y}(x,y)\ge0.
  • Soma total = 1: somamos todos os elementos da tabela:
\sum_{x=1}^{3}\sum_{y=1}^{2} p_{X,Y}(x,y) = \frac{2+3+3+4+4+5}{21} = \frac{21}{21}=1.
Portanto, as duas condições (não-negatividade e soma igual a 1) estão satisfeitas.

Passo 4

Explicação da margem e cálculo de p_X(x). Conceito: a distribuição marginal de X é obtida somando a função conjunta em todas as possíveis y:
p_X(x)=\sum_{y} p_{X,Y}(x,y).
Calculando:
  • p_X(1)=p_{X,Y}(1,1)+p_{X,Y}(1,2)=\frac{2}{21}+\frac{3}{21}=\frac{5}{21}.
  • p_X(2)=\frac{3}{21}+\frac{4}{21}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}.
  • p_X(3)=\frac{4}{21}+\frac{5}{21}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}.
Cheque rápido: \dfrac{5}{21}+\dfrac{7}{21}+\dfrac{9}{21}=\dfrac{21}{21}=1.

Passo 5

Cálculo de p_Y(y). Conceito: a distribuição marginal de Y é obtida somando a função conjunta em todas as possíveis x:
p_Y(y)=\sum_{x} p_{X,Y}(x,y).
Calculando:
  • p_Y(1)=\frac{2}{21}+\frac{3}{21}+\frac{4}{21}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}.
  • p_Y(2)=\frac{3}{21}+\frac{4}{21}+\frac{5}{21}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}.
Cheque: \dfrac{3}{7}+\dfrac{4}{7}=1.

Passo 6

Cálculo de P(X\le 2,\,Y=2). Regra: para eventos envolvendo valores específicos de X e Y, somamos as probabilidades conjuntas correspondentes:
P(X\le 2,\,Y=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=2).
Substituindo:
P(X\le 2,\,Y=2)=\frac{3}{21}+\frac{4}{21}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}.

Passo 7

Verificação de independência. Definição: X e Y são independentes se, para todo x,y,
p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)\,p_Y(y).
Basta um contraexemplo para mostrar dependência. Tomemos (x,y)=(1,1):
  • Já temos p_{X,Y}(1,1)=\frac{2}{21}.
  • Produto das marginais: p_X(1)\,p_Y(1)=\frac{5}{21}\cdot\frac{9}{21}=\frac{45}{441}=\frac{5}{49}.
Comparando \dfrac{2}{21} e \dfrac{5}{49}: transformando \dfrac{2}{21}=\dfrac{14}{147} e \dfrac{5}{49}=\dfrac{15}{147}, vê‑se que são diferentes (ou decimalmente: 2/21\approx0,09524 e 5/49\approx0,10204). Assim a igualdade exigida pela independência falha, logo X e Y não são independentes.

Resposta

(a) \begin{array}{c|cc} p_{X,Y}(x,y) & y=1 & y=2\\hline x=1 & \dfrac{2}{21} & \dfrac{3}{21} \\\ x=2 & \dfrac{3}{21} & \dfrac{4}{21} \\\ x=3 & \dfrac{4}{21} & \dfrac{5}{21} \\\ \end{array}
É uma função de probabilidade conjunta válida (todos os termos \ge0 e soma total =1).
(b) p_X(1)=\frac{5}{21},\quad p_X(2)=\frac{7}{21}=\frac{1}{3},\quad p_X(3)=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}.
p_Y(1)=\frac{9}{21}=\frac{3}{7},\quad p_Y(2)=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}.
(c) P(X\le 2,\,Y=2)=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}.
(d) Não — X e Y não são independentes (por exemplo, p_{X,Y}(1,1)=\tfrac{2}{21}\neq p_X(1)p_Y(1)=\tfrac{5}{21}\cdot\tfrac{9}{21}).

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