Considere duas variáveis aleatórias discretas
e
, cuja função conjunta é dada por
e
, caso contrário.
(a) Construa a tabela da distribuição conjunta de
e
. Verifique que
é uma função de probabilidade conjunta.
(b) Determine as distribuições marginais de
e
.
(c) Calcule
.
(d) Verifique se
e
são independentes.
(a) Construa a tabela da distribuição conjunta de
(b) Determine as distribuições marginais de
(c) Calcule
(d) Verifique se
Passo 1
O enunciado dá a função de probabilidade conjunta e pede quatro coisas. Informações fornecidas:
- A função conjunta é
e caso contrário. - Perguntas:
(a) Construir a tabela da distribuição conjunta dee e verificar que é uma função de probabilidade (não-negatividade e soma igual a ).
(b) Determinar as distribuições marginais dee .
(c) Calcular.
(d) Verificar see são independentes.
Passo 2
Vamos calcular cada valor da tabela aplicando
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Montando a tabela (linhas em
, colunas em
):
Passo 3
Verificação de que é uma função de probabilidade conjunta:
- Não-negatividade: todos os termos
com positivos são positivos, logo . - Soma total = 1: somamos todos os elementos da tabela:
Portanto, as duas condições (não-negatividade e soma igual a
) estão satisfeitas.
Passo 4
Explicação da margem e cálculo de
. Conceito: a distribuição marginal de
é obtida somando a função conjunta em todas as possíveis
:
Calculando:
Cheque rápido:
.
Passo 5
Cálculo de
. Conceito: a distribuição marginal de
é obtida somando a função conjunta em todas as possíveis
:
Calculando:
Cheque:
.
Passo 6
Cálculo de
. Regra: para eventos envolvendo valores específicos de
e
, somamos as probabilidades conjuntas correspondentes:
Substituindo:
Passo 7
Verificação de independência. Definição:
e
são independentes se, para todo
,
Basta um contraexemplo para mostrar dependência. Tomemos
:
- Já temos
- Produto das marginais:
Comparando
e
: transformando
e
, vê‑se que são diferentes (ou decimalmente:
e
). Assim a igualdade exigida pela independência falha, logo
e
não são independentes.
Resposta
(a)
É uma função de probabilidade conjunta válida (todos os termos
e soma total
).
(b)
(c)
(d) Não —
e
não são independentes (por exemplo,
).