Um atendente de telemarketing está tentando entrar em contato com um cliente. A probabilidade de o cliente atender a ligação em uma tentativa é de
, e cada tentativa é independente das anteriores.
Seja
a variável aleatória que representa o número de ligações até que o cliente atenda pela primeira vez.
(1) Qual é a distribuição da variável
?
(2) Qual é a probabilidade de que o cliente atenda apenas na terceira ligação?
(3) Qual é a probabilidade de que o cliente não atenda nas três primeiras ligações?
(4) Qual o valor esperado do número de ligações até o primeiro atendimento?
Seja
(1) Qual é a distribuição da variável
(2) Qual é a probabilidade de que o cliente atenda apenas na terceira ligação?
(3) Qual é a probabilidade de que o cliente não atenda nas três primeiras ligações?
(4) Qual o valor esperado do número de ligações até o primeiro atendimento?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações fornecidas:
- A probabilidade de o cliente atender em uma tentativa é
, isto é, . - Cada tentativa é independente das anteriores.
- A variável aleatória
representa o número de ligações até que o cliente atenda pela primeira vez. Assim só pode tomar valores .
Perguntas pedidas:
(1) Qual é a distribuição de ?
(2) Qual é a probabilidade de que o cliente atenda apenas na terceira ligação?
(3) Qual é a probabilidade de que o cliente não atenda nas três primeiras ligações?
(4) Qual o valor esperado do número de ligações até o primeiro atendimento?
(1) Qual é a distribuição de
(2) Qual é a probabilidade de que o cliente atenda apenas na terceira ligação?
(3) Qual é a probabilidade de que o cliente não atenda nas três primeiras ligações?
(4) Qual o valor esperado do número de ligações até o primeiro atendimento?
Passo 2
Identificar a lei de probabilidade adequada e escrever sua fórmula (explicando bem por que).
Quando temos tentativas independentes, cada uma com probabilidade constante de sucesso
, e definimos
como “número de tentativas até o primeiro sucesso”, a forma adequada é a distribuição geométrica na convenção que começa em
. A ideia em palavras: para que
ocorra é preciso falhar nas
primeiras e ter sucesso na
-ésima. Como as tentativas são independentes, multiplicam-se as probabilidades.
A fórmula da massa de probabilidade é
onde:
-
é a probabilidade de sucesso numa tentativa (aqui ); -
é a probabilidade de fracasso numa tentativa; -
representa fracassar nas primeiras tentativas; - multiplicando por
temos o sucesso na tentativa .
Observação prática: existem duas convenções para a geométrica (uma conta número de falhas antes do primeiro sucesso); aqui usamos a convenção pedida no enunciado, que conta o número total de ligações até o primeiro atendimento (valores
).
Passo 3
Calcular a probabilidade de atender apenas na terceira ligação (
), explicando passo a passo.
Pedir “apenas na terceira” significa: falha nas ligações 1 e 2, sucesso na ligação 3. Usando a fórmula com
e
:
Calculemos cada termo:
Portanto
. Em palavras: há
de chance de fracassar nas duas primeiras e então
de sucesso na terceira, totalizando
.
Passo 4
Calcular a probabilidade de que o cliente não atenda nas três primeiras ligações, com explicação.
“Não atender nas três primeiras” significa fracassar nas tentativas 1, 2 e 3. Como as tentativas são independentes, a probabilidade é
. Logo:
Calcule:
Portanto a probabilidade é
(ou
).
Passo 5
Calcular o valor esperado
e explicar a fórmula passo a passo (derivação curta e intuitiva).
Fórmula conhecida: para a geométrica (convenção
) tem-se
Vou derivar essa fórmula de forma direta para você poder aplicar em provas.
Começamos da definição:
Fatoramos
:
Agora usamos uma identidade de séries geométricas. Para
vale
Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Aqui identificamos
, que satisfaz
porque
. Então
Voltando para
:
Substituindo
:
Interpretação intuitiva: em média serão necessárias 5 ligações até o primeiro atendimento, pois cada ligação tem
de sucesso.
Resposta
(1)
tem distribuição geométrica com parâmetro
, isto é,
(2)
(3)
(4)
(2)
(3)
(4)