Um atendente de telemarketing está tentando entrar em contato com um cliente. A probabilidade de o cliente atender a ligação em uma tentativa é de 20 \%, e cada tentativa é independente das anteriores.
Seja X a variável aleatória que representa o número de ligações até que o cliente atenda pela primeira vez.
(1) Qual é a distribuição da variável X ?
(2) Qual é a probabilidade de que o cliente atenda apenas na terceira ligação?
(3) Qual é a probabilidade de que o cliente não atenda nas três primeiras ligações?
(4) Qual o valor esperado do número de ligações até o primeiro atendimento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações fornecidas:
  • A probabilidade de o cliente atender em uma tentativa é 20\%, isto é, p=0,2.
  • Cada tentativa é independente das anteriores.
  • A variável aleatória X representa o número de ligações até que o cliente atenda pela primeira vez. Assim X só pode tomar valores 1,2,3,\dots.
Perguntas pedidas:
(1) Qual é a distribuição de X?
(2) Qual é a probabilidade de que o cliente atenda apenas na terceira ligação?
(3) Qual é a probabilidade de que o cliente não atenda nas três primeiras ligações?
(4) Qual o valor esperado do número de ligações até o primeiro atendimento?

Passo 2

Identificar a lei de probabilidade adequada e escrever sua fórmula (explicando bem por que).
Quando temos tentativas independentes, cada uma com probabilidade constante de sucesso p, e definimos X como “número de tentativas até o primeiro sucesso”, a forma adequada é a distribuição geométrica na convenção que começa em 1. A ideia em palavras: para que X=k ocorra é preciso falhar nas k-1 primeiras e ter sucesso na k-ésima. Como as tentativas são independentes, multiplicam-se as probabilidades.
A fórmula da massa de probabilidade é
P(X=k)=(1-p)^{\,k-1}p,\qquad k=1,2,3,\dots
onde:
  • p é a probabilidade de sucesso numa tentativa (aqui p=0,2);
  • (1-p) é a probabilidade de fracasso numa tentativa;
  • (1-p)^{k-1} representa fracassar nas k-1 primeiras tentativas;
  • multiplicando por p temos o sucesso na tentativa k.
Observação prática: existem duas convenções para a geométrica (uma conta número de falhas antes do primeiro sucesso); aqui usamos a convenção pedida no enunciado, que conta o número total de ligações até o primeiro atendimento (valores 1,2,\dots).

Passo 3

Calcular a probabilidade de atender apenas na terceira ligação ( P(X=3)), explicando passo a passo.
Pedir “apenas na terceira” significa: falha nas ligações 1 e 2, sucesso na ligação 3. Usando a fórmula com p=0,2 e k=3:
P(X=3)=(1-p)^{3-1}p=(1-0,2)^{2}\cdot 0,2.
Calculemos cada termo:
1-0,2=0,8,
0,8^{2}=0,64,
0,64\cdot 0,2=0,128.
Portanto P(X=3)=0,128. Em palavras: há 64\% de chance de fracassar nas duas primeiras e então 20\% de sucesso na terceira, totalizando 12{,}8\%.

Passo 4

Calcular a probabilidade de que o cliente não atenda nas três primeiras ligações, com explicação.
“Não atender nas três primeiras” significa fracassar nas tentativas 1, 2 e 3. Como as tentativas são independentes, a probabilidade é (1-p)^3. Logo:
P(\text{nenhuma nas 3 primeiras})=(1-0,2)^{3}=0,8^{3}.
Calcule:
0,8^{2}=0,64,\qquad 0,8^{3}=0,64\cdot 0,8=0,512.
Portanto a probabilidade é 0,512 (ou 51{,}2\%).

Passo 5

Calcular o valor esperado E[X] e explicar a fórmula passo a passo (derivação curta e intuitiva).
Fórmula conhecida: para a geométrica (convenção X=1,2,\dots) tem-se
E[X]=\frac{1}{p}.
Vou derivar essa fórmula de forma direta para você poder aplicar em provas.
Começamos da definição:
E[X]=\sum_{k=1}^{\infty} k\,P(X=k)=\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}p.
Fatoramos p:
E[X]=p\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}.
Agora usamos uma identidade de séries geométricas. Para |r|<1 vale
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Diferenciando ambos os lados em relação a r obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Aqui identificamos r=1-p, que satisfaz |r|<1 porque 0<p\le 1. Então
\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}=\frac{1}{(1-(1-p))^{2}}=\frac{1}{p^{2}}.
Voltando para E[X]:
E[X]=p\cdot\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}.
Substituindo p=0,2:
E[X]=\frac{1}{0,2}=5.
Interpretação intuitiva: em média serão necessárias 5 ligações até o primeiro atendimento, pois cada ligação tem 20\% de sucesso.

Resposta

(1) X tem distribuição geométrica com parâmetro p=0,2, isto é, P(X=k)=(1-0,2)^{\,k-1}0,2,\\ k=1,2,\dots
(2) P(X=3)=0,128
(3) P(\text{não atende nas 3 primeiras})=0,512ã
(4) E[X]=5

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