Utilize a propriedade do menor limitante superior para provar a propriedade do maior limitante inferior - isto é, que todo subconjunto E \subset \mathbb{R} limitado inferiormente possui ínfimo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que “todo subconjunto E\subset\mathbb{R} que é limitado inferiormente possui ínfimo”. O que temos à disposição é o Axioma da Completude dos Reais, que diz: “se um conjunto não vazio é limitado superiormente, então ele tem supremo”. Nossa estratégia será reduzir o caso do ínfimo ao caso do supremo, usando o conjunto negativo de E.

Passo 2

Definimos o conjunto
-\,E \;=\;\{-x\mid x\in E\}.
Como E é limitado inferiormente, existe alguma constante m\in\mathbb{R} tal que m\le x para todo x\in E. Logo, para todo y=-x\in -E temos
y=-x\;\le\;-m,
ou seja, -E é limitado superiormente por -m. Além disso, se E\neq\varnothing, então -E\neq\varnothing.

Passo 3

Pelo Axioma da Completude, como -E é não vazio e limitado superiormente, existe
\alpha \;=\;\sup(-E).

Passo 4

Agora, mostramos que -\alpha é uma cota inferior de E. Seja x\in E. Então -x\in -E, logo -x\le\alpha. Multiplicando por -1 (inverter ordem), obtemos
x\;\ge\;-\,\alpha.
Portanto, -\alpha é de fato um limitante inferior de E.

Passo 5

Falta ver que -\alpha é o maior limitante inferior. Seja \beta qualquer outro limitante inferior de E. Então para todo x\in E temos \beta\le x, ou seja, -x\le -\beta. Como -x percorre todo -E, concluímos que -\beta é um limitante superior de -E. Pela definição de supremo, \alpha=\sup(-E) é o menor desses limitantes, logo
\alpha\;\le\;-\,\beta.
Multiplicando por -1 (invertendo a desigualdade), vem
-\,\alpha\;\ge\;\beta.
Isso mostra que -\alpha é maior do que qualquer outro limitante inferior \beta, ou seja, é o ínfimo de E.

Resposta

\inf E \;=\;-\,\sup\bigl(-E\bigr).

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