Utilize a propriedade do menor limitante superior para provar a propriedade do maior limitante inferior - isto é, que todo subconjunto
limitado inferiormente possui ínfimo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que “todo subconjunto
que é limitado inferiormente possui ínfimo”. O que temos à disposição é o Axioma da Completude dos Reais, que diz: “se um conjunto não vazio é limitado superiormente, então ele tem supremo”. Nossa estratégia será reduzir o caso do ínfimo ao caso do supremo, usando o conjunto negativo de
.
Passo 2
Definimos o conjunto
Como
é limitado inferiormente, existe alguma constante
tal que
para todo
. Logo, para todo
temos
ou seja,
é limitado superiormente por
. Além disso, se
, então
.
Passo 3
Pelo Axioma da Completude, como
é não vazio e limitado superiormente, existe
Passo 4
Agora, mostramos que
é uma cota inferior de
. Seja
. Então
, logo
. Multiplicando por
(inverter ordem), obtemos
Portanto,
é de fato um limitante inferior de
.
Passo 5
Falta ver que
é o maior limitante inferior. Seja
qualquer outro limitante inferior de
. Então para todo
temos
, ou seja,
. Como
percorre todo
, concluímos que
é um limitante superior de
. Pela definição de supremo,
é o menor desses limitantes, logo
Multiplicando por
(invertendo a desigualdade), vem
Isso mostra que
é maior do que qualquer outro limitante inferior
, ou seja, é o ínfimo de
.