Sejam x, y in R. Se x+y=pi2 e x-y=pi6, calcule o valor de t=sen x+sen ycos x-cos y.

Passo 1

O problema dá duas equações lineares em x e y: x+y=π/2 e x−y=π/6, e pede t=(sen x+sen y)/(cos x−cos y). Vamos usar álgebra de sistemas e valores trigonométricos de ângulos especiais.

Passo 2

Somando as equações e dividindo por 2, obtemos x, e subtraindo-as e dividindo por 2, obtemos y:
x=(x+y)+(x-y)2=pi2+pi62=pi/2+pi/62=(2pi/3)2=pi3,
y=(x+y)-(x-y)2=pi2-pi62=pi/32=pi6

Passo 3

Usamos então os valores conhecidos:
sinl(tfracpi3r)=raiz32, sinl(tfracpi6r)=12,
cosl(tfracpi3r)=12, cosl(tfracpi6r)=raiz32

Passo 4

Calculamos numerador e denominador de t:
sin x+sin y=raiz32+12=raiz3+12,
cos x-cos y=12-raiz32=1-raiz32

Passo 5

Formamos t e simplificamos:
t=raiz3+121-raiz32=raiz3+11-raiz3
Racionalizando o denominador:
t=(raiz3+1)^2(1-raiz3)(1+raiz3)=4+2raiz3-2=-2-raiz3

Resposta

-2-\sqrt{3}

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