Obtenha tan x sabendo que sin ^2 x-5 cdot sin x cdot cos x+cos ^2 x=3.
Dica: Encontre uma equação do segundo grau em função de tan x.

Passo 1

O enunciado dá a equação trigonométrica sin^2 x - 5sin xcos x + cos^2 x = 3. Vamos usar identidades básicas de trigonometria ( sin^2 x + cos^2 x = 1 e tan x = sin x/cos x) para transformar tudo em função de tan x.

Passo 2

Usando sin^2 x + cos^2 x = 1, reescrevemos a equação dada:
1 - 5sin xcos x = 3
Dessa forma isolamos sin xcos x:
sin xcos x = 1 - 35 = -25

Passo 3

Se definirmos tan x = t, temos sin x = tcos x. Além disso, de sin^2 x + cos^2 x = 1 vem
cos^2 x = 11 + t^2
Logo
sin xcos x = tcos^2 x = t1 + t^2

Passo 4

Igualando ao valor que encontramos:
t1 + t^2 = -25
Multiplicando em cruz e reorganizando ficamos com a equação do 2º grau:
5t = -2(1 + t^2) Longrightarrow 2t^2 + 5t + 2 = 0

Passo 5

Resolvendo por Bhaskara:
De
t = -5 pm raiz92cdot2 = -5 pm 34
Isso dá as soluções
t = -tfrac12 ou t = -2

Resposta

tan x = -tfrac12 ou tan x = -2

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