Sejam x, y in[a, b], prove que para todo lambda in[0,1] tem-se que
(1-lambda) x+lambda y in[a, b]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se temos dois números $ x $ e $ y $ que estão no intervalo x , então qualquer combinação linear desses números na forma y , onde $ \lambda $ está entre 0 e 1, também estará nesse mesmo intervalo [a, b]. Vamos usar conceitos de álgebra e intervalos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ x, y \in [a, b] $. Isso quer dizer que tanto $ x $ quanto $ y $ são maiores ou iguais a $ a $ e menores ou iguais a $ b $. Em outras palavras:
x, y in [a, b]

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão (1-lambda)x + lambda y. Essa é uma combinação linear de $ x $ e $ y $, onde $ \lambda $ é um número entre 0 e 1. Basicamente, estamos “misturando” $ x $ e $ y $ de acordo com o valor de $ \lambda $.

Passo 4

Para provar que (1-lambda)x + lambda y também está no intervalo [a, b], precisamos mostrar duas coisas:
  1. (1-lambda)x + lambda y >= a
  2. (1-lambda)x + lambda y <= b

Passo 5

Vamos começar mostrando que (1-lambda)x + lambda y >= a.
Sabemos que $ x \geq a $ e $ y \geq a $. Multiplicando essas desigualdades por $ (1-\lambda) $ e $ \lambda $ respectivamente, que são positivos (já que $ \lambda \in [0,1] $), temos:
x >= a

Passo 6

Agora, somando essas duas desigualdades:
(1-lambda)x + lambda y >= (1-lambda)a + lambda a = a ( (1-lambda) + lambda ) = a(1) = a
Então, (1-lambda)x + lambda y >= a.

Passo 7

Agora, vamos mostrar que (1-lambda)x + lambda y <= b.
Sabemos que $ x \leq b $ e $ y \leq b $. Multiplicando por $ (1-\lambda) $ e $ \lambda $:
x <= b

Passo 8

Somando essas duas desigualdades:
(1-lambda)x + lambda y <= (1-lambda)b + lambda b = b ( (1-lambda) + lambda ) = b(1) = b
Então, (1-lambda)x + lambda y <= b.

Passo 9

Como mostramos que (1-lambda)x + lambda y >= a e (1-lambda)x + lambda y <= b, concluímos que:
a <= (1-lambda)x + lambda y <= b
Ou seja, (1-lambda)x + lambda y in [a, b].

Resposta

Portanto, provamos que para todo $ \lambda \in [0,1] $, a combinação lambda in [0,1] está no intervalo (1-lambda)x + lambda y.

Exercícios relacionados