Sejam
, prove que para todo
tem-se que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se temos dois números $ x $ e $ y $ que estão no intervalo
, então qualquer combinação linear desses números na forma
, onde $ \lambda $ está entre 0 e 1, também estará nesse mesmo intervalo
. Vamos usar conceitos de álgebra e intervalos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ x, y \in [a, b] $. Isso quer dizer que tanto $ x $ quanto $ y $ são maiores ou iguais a $ a $ e menores ou iguais a $ b $. Em outras palavras:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a expressão
. Essa é uma combinação linear de $ x $ e $ y $, onde $ \lambda $ é um número entre 0 e 1. Basicamente, estamos “misturando” $ x $ e $ y $ de acordo com o valor de $ \lambda $.
Passo 4
Para provar que
também está no intervalo
, precisamos mostrar duas coisas:
Passo 5
Vamos começar mostrando que
.
Sabemos que $ x \geq a $ e $ y \geq a $. Multiplicando essas desigualdades por $ (1-\lambda) $ e $ \lambda $ respectivamente, que são positivos (já que $ \lambda \in [0,1] $), temos:
Passo 6
Agora, somando essas duas desigualdades:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos mostrar que
.
Sabemos que $ x \leq b $ e $ y \leq b $. Multiplicando por $ (1-\lambda) $ e $ \lambda $:
Passo 8
Somando essas duas desigualdades:
Então,
.
Passo 9
Como mostramos que
e
, concluímos que:
Ou seja,
.
Resposta
Portanto, provamos que para todo $ \lambda \in [0,1] $, a combinação
está no intervalo
.