Sejam X e Y v.a.s contínuas independentes tendo as densidades marginais especificadas abaixo. Obtenha, em cada item, a densidade de Z=X+Y.
X sim Exp(lambda1) e Y sim Exp(lambda2)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas variáveis aleatórias independentes,
X ∼ Exp(λ₁) e Y ∼ Exp(λ₂), e queremos achar a densidade de Z = X + Y.
Conteúdo: soma de v.a.s contínuas independentes via convolução de densidades.
O que vamos precisar:
  • saber a f.d.p. de uma Exp(λ):
    para ,
  • a fórmula de convolução:
    .

Passo 2

Teoria da convolução: se X e Y são independentes e contínuas, a densidade de Z = X+Y é
fZ(z) ;=; integral-infty^+infty fX(x),fY(z-x),dx
Como X, Y ≥0, a integral vira de 0 a z (para z≥0).

Passo 3

Escrevendo as densidades:
fX(x)=lambda1 e^-lambda1 x, fY(y)=lambda2 e^-lambda2 y
Então para fZ(z) =integral0^z lambda1 e^-lambda1 x;lambda2 e^-lambda2,(z-x),dx =lambda1lambda2,e^-lambda2 z integral0^z e^-(lambda1-lambda2)x,dx :

Passo 4

Primeiro caso: integral0^z e^-(lambda1-lambda2)x,dx =1lambda2-lambda1(e^-(lambda1-lambda2)z-1) =1lambda1-lambda2(1 - e^-(lambda1-lambda2)z) .
fZ(z) =lambda1lambda2,e^-lambda2 z, 1 - e^-(lambda1-lambda2)zlambda1-lambda2 =lambda1lambda2lambda1-lambda2(e^-lambda2 z-e^-lambda1 z)
Substituindo:

Passo 5

Segundo caso: fZ(z) =integral0^zlambda e^-lambda x,lambda e^-lambda(z-x),dx =lambda^2 e^-lambda zintegral0^z1,dx =lambda^2 z,e^-lambda z .
Então

Resposta

Para boxedfZ(z)=lambda1lambda2lambda1-lambda2,l(e^-lambda2 z-e^-lambda1 zr) : boxedfZ(z)=lambda^2,z,e^-lambda z .
Para :
  • Se :
  • Se :

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