Sejam
e
v.a.s contínuas independentes tendo as densidades marginais especificadas abaixo. Obtenha, em cada item, a densidade de
.
e
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas variáveis aleatórias independentes,
X ∼ Exp(λ₁) e Y ∼ Exp(λ₂), e queremos achar a densidade de Z = X + Y.
Conteúdo: soma de v.a.s contínuas independentes via convolução de densidades.
O que vamos precisar:
X ∼ Exp(λ₁) e Y ∼ Exp(λ₂), e queremos achar a densidade de Z = X + Y.
Conteúdo: soma de v.a.s contínuas independentes via convolução de densidades.
O que vamos precisar:
- saber a f.d.p. de uma Exp(λ):
para , - a fórmula de convolução:
.
Passo 2
Teoria da convolução: se X e Y são independentes e contínuas, a densidade de Z = X+Y é
Como X, Y ≥0, a integral vira de 0 a z (para z≥0).
Passo 3
Escrevendo as densidades:
Então para
:
Passo 4
Primeiro caso:
.
Substituindo:
Passo 5
Segundo caso:
.
Então
Então
Resposta
Para
:
.
Para :
Para
- Se
:
- Se
: