Sejam X e Y v.a.s contínuas independentes tendo as densidades marginais especificadas abaixo. Obtenha, em cada item, a densidade de Z=X+Y.
X sim N(mu1, sigma1^2) e Y sim N(mu2, sigma2^2)

Passo 1

O enunciado pede a densidade de , sabendo que e são independentes e normais:
Conteúdo: soma de variáveis aleatórias independentes (convolução de densidades) e propriedade especial da distribuição Normal.
O que vamos usar:
  1. A fórmula de convolução
  2. A densidade de cada normal
  3. O truque de “completar quadrado” para integrar

Passo 2

Convolução:
fZ(z);=;integral-infty^infty fX(x),fY(z-x),dx
As densidades são
fX(x)=1raiz2pi,sigma1^2 exp!gl(-(x-mu1)^22sigma1^2gr), fY(y)=1raiz2pi,sigma2^2 exp!gl(-(y-mu2)^22sigma2^2gr)
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fZ(z) =integral-infty^infty 12piraizsigma1^2sigma2^2 expl(-A(x)r),dx,
onde
A(x) =(x-mu1)^22sigma1^2 +l(z-x-mu2r)^22sigma2^2

Passo 3

Agora a parte chata (mas essencial):
  1. Expandir a,x^2-2b,x + c = al(x-tfracbar)^2 + l(c-tfracb^2ar) , reagrupar em muZ = mu1+mu2, sigmaZ^2 = sigma1^2+sigma2^2 .
  2. “Completar o quadrado”:
  3. A integral em de vale .
  4. O que sobra é uma exponencial em função de só, com coeficiente no denominador do quadrado.
O resultado final é que também é normal, com

Resposta

boxed fZ(z) = 1raiz2pil(sigma1^2+sigma2^2r) exp!gl(-(z-(mu1+mu2))^22l(sigma1^2+sigma2^2r)gr)

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