Sejam
e
v.a.s contínuas independentes tendo as densidades marginais especificadas abaixo. Obtenha, em cada item, a densidade de
.
e
Passo 1
O enunciado pede a densidade de
, sabendo que
e
são independentes e normais:
Conteúdo: soma de variáveis aleatórias independentes (convolução de densidades) e propriedade especial da distribuição Normal.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- A fórmula de convolução
- A densidade de cada normal
- O truque de “completar quadrado” para integrar
Passo 2
Convolução:
As densidades são
Logo
onde
Passo 3
Agora a parte chata (mas essencial):
- Expandir
, reagrupar em . - “Completar o quadrado”:
- A integral em
de vale . - O que sobra é uma exponencial em função de
só, com coeficiente no denominador do quadrado.
O resultado final é que
também é normal, com