Seja
.
Se
e
tem densidade conjunta
, determine as marginais de
e
e verifique se são independentes.
Se
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade conjunta
e pede (a) as marginais de
Isso é tópico de variáveis contínuas em probabilidade: a gente vai precisar normalizar a densidade (achar
Passo 2
Primeiro a gente acha
impondo
.
Escolhemos integrar primeiro em . Note que
Escolhemos integrar primeiro em
Logo
Integrando em
:
Agora
dá
Assim
Passo 3
Agora
. Primeiro complete o quadrado em
:
Então
Integramos em
:
Substituindo
:
Passo 4
Já tínhamos via
a densidade de
:
Passo 5
Para checar independência, ver se
.
No lado direito não aparece o termo cruzado . Logo não dá pra fatorar
como produto de algo só em
vezes algo só em
.
Então não são independentes.
No lado direito não aparece o termo cruzado
Então não são independentes.
Resposta
Marginais:
Constante de normalização:
.
Independência? Não são independentes.
Independência? Não são independentes.