Seja f(x, y)=c e^-(x^2-x y+4 y^2) / 2, x in R.
Se X e Y tem densidade conjunta f, determine as marginais de X e Y e verifique se são independentes.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade conjunta
f(x,y)=c,e^-x^2 - x y +4y^22, (x,y)in R^2
e pede (a) as marginais de e e (b) ver se e são independentes.
Isso é tópico de variáveis contínuas em probabilidade: a gente vai precisar normalizar a densidade (achar ), depois integrar em pra achar e em pra achar . Para isso usamos completamento de quadrado e a famosa integral gaussiana

Passo 2

Primeiro a gente acha x^2 -xy +4y^2 = (x-tfrac y2)^2 -tfracy^24 +4y^2 = (x-tfrac y2)^2 +tfrac154y^2 impondo
f(x,y) = c,exp!(-tfrac(x-tfrac y2)^22), exp!(-tfrac158y^2) .
Escolhemos integrar primeiro em fY(y) =integral-infty^inftyf(x,y),dx = c,e^-158y^2 integral e^-(x-tfrac y2)^22dx = c,raiz2pi;e^-158y^2 . Note que
1 = craiz2piintegral-infty^infty e^-158y^2dy = craiz2pi,raiz8pi15 = c,4piraiz15
Logo
boxedc=raiz154pi
Integrando em :
Agora
Assim

Passo 3

Agora x^2 -xy +4y^2 =4(y^2-x4y)+x^2 =4[(y-tfracx8)^2-tfracx^264]+x^2 =4(y-tfracx8)^2+tfrac1516x^2 . Primeiro complete o quadrado em f(x,y) = c;exp!(-2(y-tfracx8)^2), exp!(-tfrac1532x^2) :
fX(x) = c,e^-1532x^2 integral-infty^infty e^-2(y-tfracx8)^2,dy = c,e^-1532x^2,raizpi2
Então
fX(x) =raiz154pi,raizpi2, e^-1532x^2 =raiz1532pi;e^-1532x^2
Integramos em :
Substituindo :

Passo 4

Já tínhamos via fY(y) = craiz2pi;e^-158y^2 =raiz154piraiz2pi; e^-158y^2 =raiz158pi;e^-158y^2 a densidade de :

Passo 5

Para checar independência, ver se
.
No lado direito não aparece o termo cruzado . Logo não dá pra fatorar
como produto de algo só em vezes algo só em .
Então não são independentes.

Resposta

Marginais:
boxed fX(x)=raiz1532pi;e^-1532x^2, fY(y)=raiz158pi;e^-158y^2
Constante de normalização: .
Independência? Não são independentes.

Exercícios relacionados