Sejam X e Y v.a.s contínuas independentes tendo as densidades marginais especificadas abaixo. Obtenha, em cada item, a densidade de Z=X+Y.
X sim Gama(alpha1, lambda) e Y sim Gama(alpha2, lambda)

Passo 1

Beleza, a questão diz que Xsim Gamma(alpha1,lambda), Ysim Gamma(alpha2,lambda), e são independentes com
e pede a densidade de .
Conteúdo: vamos usar a convolução de densidades de v.a.s. contínuas e propriedades das funções Gama e Beta.

Passo 2

Para somar duas v.a.s. contínuas independentes, usamos a convolução:
fZ(z)=integral0^zfX(x),fY(z-x),dx
As densidades individuais são
fX(x)=lambda^alpha1Gamma(alpha1),x^alpha1-1e^-lambda x, fY(y)=lambda^alpha2Gamma(alpha2),y^alpha2-1e^-lambda y,
para .

Passo 3

Substituindo em fZ(z) =integral0^zlambda^alpha1Gamma(alpha1)x^alpha1-1e^-lambda x ;lambda^alpha2Gamma(alpha2)(z-x)^alpha2-1e^-lambda(z-x)dx :
fZ(z) =lambda^alpha1+alpha2Gamma(alpha1),Gamma(alpha2)e^-lambda z integral0^zx^alpha1-1(z-x)^alpha2-1dx
Juntando constantes e :

Passo 4

Para resolver integral0^1(zu)^alpha1-1l(z(1-u)r)^alpha2-1z,du =z^alpha1+alpha2-1integral0^1u^alpha1-1(1-u)^alpha2-1du =z^alpha1+alpha2-1B(alpha1,alpha2), , fazemos , . Isso dá
onde .

Passo 5

Usando a relação fZ(z) =lambda^alpha1+alpha2Gamma(alpha1),Gamma(alpha2)e^-lambda z ;z^alpha1+alpha2-1 ;Gamma(alpha1),Gamma(alpha2)Gamma(alpha1+alpha2) =lambda^alpha1+alpha2Gamma(alpha1+alpha2)z^alpha1+alpha2-1e^-lambda z , temos

Resposta

fZ(z) =lambda^alpha1+alpha2Gamma(alpha1+alpha2),z^alpha1+alpha2-1e^-lambda z, z>0,
ou seja, .

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