Sejam X e Y v.a.s com densidade conjunta fX, Y. Obtenha a fórmula para a densidade de Z=YX em termos da densidade conjunta fX, Y

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias Z = YX e com densidade conjunta e nos pede pra achar a densidade de
Isso cai em “transformação de variáveis” em probabilidade. Vamos usar a técnica de troca de variáveis (definir uma nova dupla que envolva ), calcular o jacobiano e depois marginalizar pra obter só a densidade de .

Passo 2

Teoria rápida de transformação:
  1. A gente define duas novas variáveis U = X, Z = YX de modo que seja fácil inverter em X = U, Y = U,Z . Aqui escolhemos J = |det partial xpartial u & partial xpartial z [6pt] partial ypartial u & partial ypartial z | = |det 1 & 0 [3pt] Z & U | = |U|
  2. Precisamos escrever em função de . Daí
  3. O jacobiano é o valor absoluto do determinante da matriz das derivadas parciais de em relação a :

Passo 3

Agora a densidade conjunta de fU,Z(u,z) = fX,Yl(x=u,;y=u,zr);times |J| = fX,Y(u,,u z);l|ur| é
fZ(z) = integral-infty^infty fU,Z(u,z),du = integral-infty^infty fX,Y(u,,u z);|u|;du
Pra achar só a densidade de , integramos em por toda a faixa onde faz sentido:

Resposta

boxed fZ(z) ;=; integral-infty^infty fX,Yl(u,,u zr),l|ur|;du

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