Sejam e v.a.s com densidade conjunta . Obtenha a fórmula para a densidade de em termos da densidade conjunta
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias e com densidade conjunta e nos pede pra achar a densidade de
Isso cai em “transformação de variáveis” em probabilidade. Vamos usar a técnica de troca de variáveis (definir uma nova dupla que envolva ), calcular o jacobiano e depois marginalizar pra obter só a densidade de .
Passo 2
Teoria rápida de transformação:
A gente define duas novas variáveis de modo que seja fácil inverter em . Aqui escolhemos
Precisamos escrever em função de . Daí
O jacobiano é o valor absoluto do determinante da matriz das derivadas parciais de em relação a :
Passo 3
Agora a densidade conjunta de fU,Z(u,z) = fX,Yl(x=u,;y=u,zr);times |J| = fX,Y(u,,u z);l|ur| é