Sejam X e Y v.a.s i.i.d. com densidade Exp(lambda). Obtenha a densidade de Z=YX

Passo 1

Então, o enunciado diz que e são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas como , e pede pra gente achar a densidade de .
Conteúdo: transformação de variáveis contínuas, uso de jacobiano e integração.
O que vamos precisar:
  1. A densidade conjunta de .
  2. Fazer a mudança de variável onde .
  3. Calcular o jacobiano e integrar sobre pra obter .

Passo 2

Beleza, primeiro a densidade conjunta de fX,Y(x,y) ;=; lambda e^-lambda x;cdot;lambda e^-lambda y ;=;lambda^2,e^-lambda(x+y), x>0,;y>0 e , por serem independentes:

Passo 3

Agora a troca de variável:
Z = YX, U = X
Então x = U, y = UZ Longrightarrow det J ;=; partial x/partial U & partial x/partial Z partial y/partial U & partial y/partial Z = 1 & 0 Z & U = U . A gente tem o jacobiano de :
[
x = U,\quad y = UZ
\quad\Longrightarrow\quad
\det J ;=;


= U.
]

Passo 4

A densidade conjunta de fU,Z(u,z) = fX,Y(u,u,z);l|det Jr| = lambda^2,e^-lambda(u+u z);cdot u = lambda^2,u,e^-lambda u(1+z), vira
fZ(z) =integral0^infty lambda^2,u,e^-lambda u(1+z),du
com e .
Pra achar , integramos em :
A gente usa a fórmula para . Aqui .

Passo 5

Substituindo:
fZ(z) = lambda^2 ;1[lambda(1+z)]^2 = lambda^2lambda^2,(1+z)^2 = 1(1+z)^2, z>=0

Resposta

boxedfZ(z) = 1(1+z)^2, z >= 0

Exercícios relacionados