Sejam e v.a.s i.i.d. com densidade . Obtenha a densidade de
Passo 1
Então, o enunciado diz que e são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas como , e pede pra gente achar a densidade de .
Conteúdo: transformação de variáveis contínuas, uso de jacobiano e integração.
O que vamos precisar:
A densidade conjunta de .
Fazer a mudança de variável onde .
Calcular o jacobiano e integrar sobre pra obter .
Passo 2
Beleza, primeiro a densidade conjunta de e , por serem independentes:
Passo 3
Agora a troca de variável:
Então . A gente tem o jacobiano de :
[
x = U,\quad y = UZ
\quad\Longrightarrow\quad
\det J ;=;
= U.
]
Passo 4
A densidade conjunta de fU,Z(u,z) = fX,Y(u,u,z);l|det Jr| = lambda^2,e^-lambda(u+u z);cdot u = lambda^2,u,e^-lambda u(1+z), vira