Sejam X e Y v.a.s independentes tais que X sim Gama(alpha1, lambda) e Y sim Gama(alpha2, lambda). Determine a densidade de Z=XX+Y. (Sugestão: expresse Z em termos de YX )

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas variáveis aleatórias independentes
X∼Gama(α₁,λ) e Y∼Gama(α₂,λ)
queremos a densidade de Z = X/(X+Y).
Conteúdo: transformações de variáveis contínuas, PDF de Gama e mudança de variável.
O que vamos precisar:
  • fórmula da densidade gama:
    f_X(x)=λ{α₁}x{α₁−1}e^{−λx}/Γ(α₁), x>0
    f_Y(y)=λ{α₂}y{α₂−1}e^{−λy}/Γ(α₂), y>0
  • técnica de transformar pelo “ratio” W=Y/X e depois voltar para Z.

Passo 2

Definimos W = Y/X. Como X,Y independentes, a PDF de W obtém-se por
f_W(w) = ∫₀^∞ f_X(x)·f_Y(wx)·x dx.
Aqui usamos f_X(x) e f_Y(y) trocando y=wx, e incluímos o fator jacobiano x da troca y↔w.

Passo 3

Vamos calcular f_W(w):
f_W(w)=∫₀^∞ [λ{α₁}x{α₁−1}e{−λx}/Γ(α₁)]·[λ{α₂}(wx){α₂−1}e{−λwx}/Γ(α₂)]·x dx
= λ{α₁+α₂}w{α₂−1}/[Γ(α₁)Γ(α₂)] ∫₀^∞ x^{α₁+α₂−1} e^{−λx(1+w)} dx.
Reconhecemos a integral como definição da Γ(α₁+α₂):
∫₀^∞ x{α₁+α₂−1}e{−λ(1+w)x} dx = Γ(α₁+α₂)/[λ{α₁+α₂}(1+w){α₁+α₂}].
Logo
f_W(w) = [Γ(α₁+α₂)/(Γ(α₁)Γ(α₂))]·w{α₂−1}/(1+w){α₁+α₂}, w>0.
Isto é a PDF da Beta–prime (ou Pearson VI).

Passo 4

Agora Z = X/(X+Y) = 1/(1+Y/X) = 1/(1+W).
Temos a transformação w = (1−z)/z, com z∈(0,1).
O jacobiano é |dw/dz| = 1/z².
Então
f_Z(z) = f_W(w)·|dw/dz|
= [Γ(α₁+α₂)/(Γ(α₁)Γ(α₂))]·[( (1−z)/z ){α₂−1}/(1+(1−z)/z){α₁+α₂}]·(1/z²).
Mas 1+(1−z)/z = 1/z.
Substituindo e simplificando potências de z e (1−z), obtemos
f_Z(z) = Γ(α₁+α₂)/[Γ(α₁)Γ(α₂)] · z{α₁−1}·(1−z){α₂−1}, 0<z<1.

Resposta

A densidade de Z = X/(X+Y) é
fZ(z) = Gamma(alpha1+alpha2) Gamma(alpha1),Gamma(alpha2) ,z^alpha1-1,(1-z)^alpha2-1, 0
ou seja, Z∼Beta(α₁,α₂).

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