Sejam
e
v.a.s i.i.d. com densidade
. Obtenha a densidade conjunta de
e
.
Passo 1
Beleza, aqui a questão pede para a gente achar a densidade conjunta de duas variáveis transformadas:
- Originalmente temos
e independentes e identicamente distribuídas como . - Definimos
Conteúdo: transformação de variáveis contínuas (função densidade conjunta e jacobiano). Vamos precisar:
- Saber a densidade conjunta de
. - Inverter a transformação
. - Calcular o jacobiano da inversão.
- Aplicar a fórmula de mudança de variável para densidades.
Passo 2
Antes de tudo, a densidade conjunta de
e
(por independência) é
válida para
e
.
Passo 3
Agora a gente define a transformação:
Pra aplicar a fórmula, precisamos inverter isso:
O suporte original é
, o que vira em termos de
:
Passo 4
Calcular o jacobiano da inversão
. A matriz de derivadas é
[
]
então o valor absoluto do determinante é
.
Pela fórmula de mudança de variáveis:
com suporte
.