Sejam X e Y v.a.s i.i.d. com densidade Exp(lambda). Obtenha a densidade conjunta de U=X e V=X+Y.

Passo 1

Beleza, aqui a questão pede para a gente achar a densidade conjunta de duas variáveis transformadas:
  • Originalmente temos U = X, V = X+Y e independentes e identicamente distribuídas como .
  • Definimos
Conteúdo: transformação de variáveis contínuas (função densidade conjunta e jacobiano). Vamos precisar:
  1. Saber a densidade conjunta de .
  2. Inverter a transformação .
  3. Calcular o jacobiano da inversão.
  4. Aplicar a fórmula de mudança de variável para densidades.

Passo 2

Antes de tudo, a densidade conjunta de fX,Y(x,y) = fX(x),fY(y) = l(lambda e^-lambda xr),l(lambda e^-lambda yr) = lambda^2 e^-lambda(x+y), e (por independência) é
válida para e .

Passo 3

Agora a gente define a transformação:
U = X, V = X + Y
Pra aplicar a fórmula, precisamos inverter isso:
X = U, Y = V - U
O suporte original é u>=0, v - u >= 0 Longrightarrow v>= u>= 0 , o que vira em termos de :

Passo 4

Calcular o jacobiano da inversão partial xpartial u&partial xpartial v[6pt] partial ypartial u&partial ypartial v = 1 & 0 -1 & 1 , . A matriz de derivadas é
[
fU,V(u,v) = fX,Yl(x(u,v),,y(u,v)r),l|det Jl(u,vr)r| = lambda^2 e^-lambdal(u + (v-u)r)cdot 1 = lambda^2 e^-lambda v,

,
]
então o valor absoluto do determinante é .
Pela fórmula de mudança de variáveis:
com suporte .

Resposta

boxedfU,V(u,v) = lambda^2 e^-lambda v,&u>=0,;v>= u, 0,&caso contrário á

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