Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com função densidade conjunta dada por
fX, Y(x, y)=ll 6(1-x), & se 0 <= y <= x <= 1 0, & caso contrário á
Verifique que fX, Y(x, y) é uma função densidade válida, isto é,
integral0^1 integral0^x 6(1-x) d y d x=1
Calcule as seguintes quantidades:
  • As funções densidade marginais de X e Y;
  • E[X], E[Y] e E[X Y];
  • Var(X) e Var(Y);
  • A covariância e o coeficiente de correlação de Pearson

Passo 1

Beleza, temos duas variáveis contínuas X e Y com densidade conjunta
fX,Y(x,y)= 6(1-x),&0<= y<= x<=1, 0,&caso contrário á
Conteúdo: densidade conjunta, marginais, esperança, variância, covariância e correlação de Pearson. Vamos usar integrais para:
  • verificar que a densidade normaliza (soma 1),
  • achar as marginais e ,
  • calcular ,
  • depois ,
  • e por fim e .

Passo 2

Verificando a normalização:
integral0^1!!integral0^x6(1-x),dy,dx =integral0^16(1-x)l[yr]0^xdx =integral0^16x(1-x),dx
Aí usamos integral0^16x(1-x),dx=6cdottfrac16=1 , logo
Pronto, é densidade válida.

Passo 3

Marginais:
  1. integraly^16(1-x),dx =6l[x-tfracx^22r]y^1 =6l(tfrac12-(y-tfracy^22)r) =3-6y+3y^2 , .
    (Teoria: marginalizar é “somar” em .)
  2. , para .
    Calculando:

Passo 4

Esperanças:

Passo 5

Variâncias:

  1. Então

  2. Logo

Passo 6

Covariância e correlação:
Coeficiente de Pearson

Resposta

  • Verificação: .
  • , .
  • , .

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