Sejam
e
variáveis aleatórias contínuas com função densidade conjunta dada por
Verifique que
é uma função densidade válida, isto é,
Calcule as seguintes quantidades:
- As funções densidade marginais de
e
;
-
e
;
-
e
;
- A covariância e o coeficiente de correlação de Pearson
Passo 1
Beleza, temos duas variáveis contínuas X e Y com densidade conjunta
Conteúdo: densidade conjunta, marginais, esperança, variância, covariância e correlação de Pearson. Vamos usar integrais para:
- verificar que a densidade normaliza (soma 1),
- achar as marginais
e , - calcular
, - depois ,
- e por fim e
.
Passo 2
Verificando a normalização:
Aí usamos
, logo
Pronto, é densidade válida.
Passo 3
Marginais:
-
, .
(Teoria: marginalizar é “somar” em.) -
, para .
Calculando:
Passo 4
Esperanças:
Passo 5
Variâncias:
-
Então -
Logo
Passo 6
Covariância e correlação:
Coeficiente de Pearson
Resposta
- Verificação:
. -
, . -
, . -