Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas assumindo os valores 1 e 2. Sejam: F(1,1)=0,5, F(1,2)=0,6, F(2,1)=0,6 e F(2,2)=1.
a. Obtenha a função de distribuição conjunta de X e Y.
b. Obtenha FX e FY.

Passo 1

A questão pede para achar a função de massa conjunta de duas variáveis discretas X e Y que só assumem 1 e 2, a partir da função de distribuição conjunta F(x,y) dada, e depois obter as funções de distribuição marginais F_X e F_Y.

Passo 2

Para variáveis discretas com suporte em {1,2}, usamos a relação entre cdf e pmf:
p(xi,yj)=F(xi,yj)-F(xi-1,yj)-F(xi,yj-1)+F(xi-1,yj-1),
onde qualquer F(·,·) com índice menor que 1 vale 0.

Passo 3

Aplicando essa fórmula nas quatro combinações de (x,y):
p(1,1)=F(1,1)=0.5,
p(1,2)=F(1,2)-F(1,1)=0.6-0.5=0.1,
p(2,1)=F(2,1)-F(1,1)=0.6-0.5=0.1,
p(2,2)=F(2,2)-F(2,1)-F(1,2)+F(1,1)=1-0.6-0.6+0.5=0.3

Passo 4

A função de massa conjunta fica
pX,Y(x,y)=0.5,&(x,y)=(1,1),0.1,&(x,y)=(1,2) ou (2,1),0.3,&(x,y)=(2,2),0,&caso contrárioá

Passo 5

Para as marginais usamos F_X(x)=P(X\le x)=\sum_y p(x,y) e F_Y(y)=P(Y\le y)=\sum_x p(x,y). Assim:

Resposta

a) A função de massa conjunta é:
pX,Y(x,y)=0.5,&(x,y)=(1,1),0.1,&(x,y)=(1,2) ou (2,1),0.3,&(x,y)=(2,2),0,&caso contrárioá
b) As funções de distribuição marginais são:

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