Sejam
e
variáveis aleatórias com distribuição conjunta dada pela tabela abaixo:
-2
0
2
0
0,1
0,3
0
1
0,2
0
0,1
2
0
0,1
0,2
a. Represente graficamente a distribuição conjunta de
b. Obtenha a função de distribuição conjunta de
c. Represente graficamente
.
|
|||
-2 | 0 | 2 | |
0 | 0,1 | 0,3 | 0 |
1 | 0,2 | 0 | 0,1 |
2 | 0 | 0,1 | 0,2 |
b. Obtenha a função de distribuição conjunta de
c. Represente graficamente
Passo 1
O enunciado pede a distribuição conjunta discreta de dois r.v. (X,Y) com valores em {0,1,2}×{−2,0,2}. Vamos precisar lembrar que a f.m.p. conjunta p_{XY}(x,y) é dada pela tabela e que a f.d.p. (CDF) F_{XY}(x,y)=P(X≤x,Y≤y) se obtém somando p_{XY}(u,v) para u≤x e v≤y.
Passo 2
Para representar graficamente p_{XY}, basta usar um diagrama de barras (stem plot 3D) ou um gráfico de barras verticais sobre cada ponto (x,y). Num plano XY marcamos os pontos (0,−2),(0,0),(0,2),(1,−2),(1,0),(1,2),(2,−2),(2,0),(2,2) e associamos a cada um a altura p_{XY}(x,y) retirada da tabela: por exemplo p_{XY}(0,−2)=0.1, p_{XY}(1,2)=0.1, etc.
Passo 3
Para obter F_{XY}(x,y), usamos a definição
Fazendo as somas em cada retângulo definido pelos cortes x∈{0,1,2} e y∈{−2,0,2}, encontra-se a função por partes:
Passo 4
Para desenhar graficamente F_{XY}, construímos um gráfico de superfície em degraus (step function) no plano XY. Em cada retângulo onde F_{XY} é constante (por exemplo 0≤x<1 e −2≤y<0, F=0.1; 1≤x<2 e 0≤y<2, F=0.6 etc.) desenhamos um degrau com altura igual ao valor de F_{XY} naquele retângulo.
Resposta
a) No plano XY marcamos os 9 pontos de suporte e levantamos barras com alturas iguais a p_{XY}(x,y) segundo a tabela. Por exemplo, em (0,−2) altura 0.1, em (0,0) altura 0.3, em (1,−2) altura 0.2, em (1,2) altura 0.1, em (2,0) altura 0.1 e em (2,2) altura 0.2.
b) A função de distribuição conjunta é dada por
b) A função de distribuição conjunta é dada por
c) O gráfico de F_{XY} é uma superfície em degraus no plano XY, constante em cada retângulo acima com alturas iguais aos valores de F na definição por partes.