Sejam X e Y variáveis aleatórias com distribuição conjunta dada pela tabela abaixo:
c|ccc mu
-2 0 2
0 0,1 0,3 0
1 0,2 0 0,1
2 0 0,1 0,2
a. Represente graficamente a distribuição conjunta de (X, Y)
b. Obtenha a função de distribuição conjunta de (X, Y)
c. Represente graficamente FX Y.

Passo 1

O enunciado pede a distribuição conjunta discreta de dois r.v. (X,Y) com valores em {0,1,2}×{−2,0,2}. Vamos precisar lembrar que a f.m.p. conjunta p_{XY}(x,y) é dada pela tabela e que a f.d.p. (CDF) F_{XY}(x,y)=P(X≤x,Y≤y) se obtém somando p_{XY}(u,v) para u≤x e v≤y.

Passo 2

Para representar graficamente p_{XY}, basta usar um diagrama de barras (stem plot 3D) ou um gráfico de barras verticais sobre cada ponto (x,y). Num plano XY marcamos os pontos (0,−2),(0,0),(0,2),(1,−2),(1,0),(1,2),(2,−2),(2,0),(2,2) e associamos a cada um a altura p_{XY}(x,y) retirada da tabela: por exemplo p_{XY}(0,−2)=0.1, p_{XY}(1,2)=0.1, etc.

Passo 3

Para obter F_{XY}(x,y), usamos a definição
FXY(x,y)=sumu≤xsumv≤ypXY(u,v)
Fazendo as somas em cada retângulo definido pelos cortes x∈{0,1,2} e y∈{−2,0,2}, encontra-se a função por partes:

Passo 4

Para desenhar graficamente F_{XY}, construímos um gráfico de superfície em degraus (step function) no plano XY. Em cada retângulo onde F_{XY} é constante (por exemplo 0≤x<1 e −2≤y<0, F=0.1; 1≤x<2 e 0≤y<2, F=0.6 etc.) desenhamos um degrau com altura igual ao valor de F_{XY} naquele retângulo.

Resposta

a) No plano XY marcamos os 9 pontos de suporte e levantamos barras com alturas iguais a p_{XY}(x,y) segundo a tabela. Por exemplo, em (0,−2) altura 0.1, em (0,0) altura 0.3, em (1,−2) altura 0.2, em (1,2) altura 0.1, em (2,0) altura 0.1 e em (2,2) altura 0.2.
b) A função de distribuição conjunta é dada por
FXY(x,y)= 0,&x<0 ou y<-2, 0.1,&0<= x<1,,-2<= y<0, 0.4,&0<= x<1,,0<= y<2, 0.4,&0<= x<1,,y>=2, 0.3,&1<= x<2,,-2<= y<0, 0.6,&1<= x<2,,0<= y<2, 0.7,&1<= x<2,,y>=2, 0.3,&x>=2,,-2<= y<0, 0.7,&x>=2,,0<= y<2, 1,&x>=2,,y>=2
c) O gráfico de F_{XY} é uma superfície em degraus no plano XY, constante em cada retângulo acima com alturas iguais aos valores de F na definição por partes.

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