Suponha que uma caixa contem 12 bolas numeradas de 1 a 12. Duas bolas são extraídas da caixa. Seja
o maior dos dois números selecionados. Determine a distribuição de probabilidades de
quando as extrações são feitas:
a. Com reposição
b. Sem reposição
a. Com reposição
b. Sem reposição
Passo 1
O enunciado diz que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 12 e extraímos duas bolas. Definimos
como o maior dos dois números sorteados. Precisamos achar a lei de probabilidade de
nos casos de extrações com e sem reposição. Isso envolve contagem de casos e uso de CDF para variáveis discretas.
Passo 2
Para o caso com reposição, cada extração é independente e uniforme em
. Logo o número total de pares ordenados possíveis é
. A técnica mais simples é usar a função de distribuição acumulada:
Para
temos
Então
Passo 3
No caso sem reposição, retiramos duas bolas distintas e todas as combinações não-ordenadas de 2 em 12 são equiprovÁveis, num total de
resultados. Para que
seja o máximo, a outra bola tem de ser uma das
menores (de 1 até
). Logo o número de resultados com máximo
é
. Assim, para
não há como ter
e para
Resposta
Com reposição: para
,
.
Sem reposição: e para
,
.
Sem reposição: