Suponha que uma caixa contem 12 bolas numeradas de 1 a 12. Duas bolas são extraídas da caixa. Seja X o maior dos dois números selecionados. Determine a distribuição de probabilidades de X quando as extrações são feitas:
a. Com reposição
b. Sem reposição

Passo 1

O enunciado diz que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 12 e extraímos duas bolas. Definimos X como o maior dos dois números sorteados. Precisamos achar a lei de probabilidade de X nos casos de extrações com e sem reposição. Isso envolve contagem de casos e uso de CDF para variáveis discretas.

Passo 2

Para o caso com reposição, cada extração é independente e uniforme em 1,dots,12. Logo o número total de pares ordenados possíveis é 12^2=144. A técnica mais simples é usar a função de distribuição acumulada:
Para x=1,2,dots,12 temos
P(X<= x)=l(x12r)^2
Então
P(X=x)=P(X<= x)-P(X<= x-1)=x^2-(x-1)^2144=2x-1144

Passo 3

No caso sem reposição, retiramos duas bolas distintas e todas as combinações não-ordenadas de 2 em 12 são equiprovÁveis, num total de
binom122=66
resultados. Para que X=x seja o máximo, a outra bola tem de ser uma das x-1 menores (de 1 até x-1). Logo o número de resultados com máximo x é x-1. Assim, para x=1 não há como ter X=1 e para x=2,dots,12
P(X=x)=x-166

Resposta

Com reposição: para x=1,2,dots,12, P(X=x)=2x-1144.
Sem reposição: P(X=1)=0 e para x=2,dots,12, P(X=x)=x-166.

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