Sejam
v.a.'s INDEPENDENTES, cada uma tomando os valores
com probabilidade 0,5 . Defina as variáveis
e
. Mostre que essas novas v.a.'s são INDEPENDENTES duas a duas mas não são mutuamente independentes.
Passo 1
O enunciado define três variáveis aleatórias independentes X₁,X₂,X₃ tomando valores ±1 com probabilidade 0,5 e introduz Y₁=X₁X₂, Y₂=X₁X₃, Y₃=X₂X₃. O conteúdo aqui é independência de variáveis discretas: vamos usar a definição de independência para pares e para trios de variáveis.
Passo 2
Primeiro vamos achar a distribuição marginal de cada Yᵢ. Como X₁ e X₂ são independentes e cada um vale ±1 com probabilidade 0,5, a variável Y₁=X₁X₂ também vale ±1 com probabilidade 0,5. O mesmo raciocínio vale para Y₂ e Y₃.
Passo 3
Agora verificamos a independência duas a duas. Por exemplo, queremos P(Y₁=1,Y₂=1). As condições Y₁=1 e Y₂=1 impõem X₂=X₁ e X₃=X₁, então só há 2 casos favoráveis em 8 possíveis, ou seja P(Y₁=1,Y₂=1)=2/8=1/4. Como P(Y₁=1)=P(Y₂=1)=1/2, temos 1/4=(1/2)(1/2). O mesmo cálculo vale para qualquer par (Y₁,Y₃) ou (Y₂,Y₃), logo são independentes duas a duas.
Passo 4
Para testar a independência mútua, comparamos P(Y₁=1,Y₂=1,Y₃=1) com P(Y₁=1)P(Y₂=1)P(Y₃=1). Note que se Y₁=Y₂=1 então X₂=X₁ e X₃=X₁, o que já garante Y₃=1, logo P(Y₁=1,Y₂=1,Y₃=1)=P(Y₁=1,Y₂=1)=1/4. Mas P(Y₁=1)P(Y₂=1)P(Y₃=1)=(1/2)³=1/8. Como 1/4≠1/8, não há independência mútua.
Passo 5
Alternativamente, observe que
Isso mostra que uma variável Yᵢ fica determinada pelas outras duas, inviabilizando a independência mútua.
Resposta
As variáveis Y₁, Y₂ e Y₃ são independentes duas a duas, mas não são mutuamente independentes.