Sejam
e
variáveis aleatórias com distribuição conjunta dada pela tabela abaixo:
2
4
8
-1
0
0
0
1
0
a. Obtenha o coeficiente de correlação linear
. Qual a melhor relação linear entre
e
? Com qual probabilidade essa relação ocorre?
b. Calcule
.
c. Obtenha a distribuição de probabilidades da v.a.
.
d. Calcule
.
e. Calcule
.
f. Seja
.
e
são independentes? Justifique.
g. Calcule
e
.
|
|
||
2 | 4 | 8 | |
-1 |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
1 | 0 |
|
|
b. Calcule
c. Obtenha a distribuição de probabilidades da v.a.
d. Calcule
e. Calcule
f. Seja
g. Calcule
Passo 1
A questão apresenta uma distribuição conjunta discreta de duas variáveis aleatórias X∈{−1,0,1} e Y∈{2,4,8} dada por uma tabela. Vamos precisar calcular as distribuições marginais, as expectativas E(X), E(Y), a covariância, variâncias, o coeficiente de correlação linear ρ, a reta de regressão, expectativas condicionais, variâncias condicionais e verificar independência de Z=X+Y com X.
Passo 2
Calcular as marginais e as expectativas não condicionais.Para X: P(X=−1)=6/24, P(X=0)=6/24, P(X=1)=12/24. Logo
Para Y: P(Y=2)=6/24, P(Y=4)=8/24, P(Y=8)=10/24. Logo
Passo 3
Calcular E(XY) e Cov(X,Y).Usando a tabela,
logo
Passo 4
Calcular variâncias e ρ. Primeiro
$$E(Y2)=33,\quad\Var(Y)=33-\Bigl(\frac{31}{6}\Bigr)2=\frac{227}{36}.
Passo 5
Encontrar a reta de regressão de Y sobre X e a proporção explicada. O coeficiente angular é
o intercepto é
$$a=E(Y)-b,E(X)=\frac{31}{6}-\frac{86}{33}\cdot\frac{1}{4}=\frac{149}{33}.
$$
A proporção da variância explicada (R²) é ρ²≈0,861²≈0,741.
A proporção da variância explicada (R²) é ρ²≈0,861²≈0,741.
Passo 6
Calcular E(X|Y=y) para y=2,4,8 usando P(X=x|Y=y)=P(x,y)/P(Y=y).Obtemos
$$E(X\mid Y=2)=-\frac{5}{6},\quad E(X\mid Y=4)=\frac{1}{8},\quad E(X\mid Y=8)=1.
$$
Passo 7
Distribuição de E(X|Y).A variável aleatória E(X|Y) toma valores e respectivas probabilidades:
$$E(X|Y)=-\frac{5}{6}com prob\frac{1}{4},\quad \frac{1}{8}com prob\frac{1}{3},\quad 1com prob\frac{5}{12}.
$$
Passo 8
Calcular E\bigl(E(X|Y)\bigr).Pela lei da iterada:
$$E\bigl(E(X|Y)\bigr)=E(X)=\frac{1}{4}.
$$
Passo 9
Calcular Var(X|Y=y).Usando
$$\Var(X|Y=y)=E(X2|Y=y)-[E(X|Y=y)]2,
$$temos
$$\Var(X|2)=\frac{5}{36},\quad \Var(X|4)=\frac{23}{64},\quad \Var(X|8)=0.
$$
Passo 10
Verificar independência de Z=X+Y e X.Para cada par (z,x), P(Z=z,X=x)=P(Y=z−x,X=x), que não fatoriza em f_Z(z)f_X(x). Logo Z e X não são independentes.
Passo 11
Calcular E(Z|X=−1) e Var(Z|X=−1).Como Z=−1+Y,
$$\Var(Z|X=-1)=\Var(Y|X=-1)=E(Y2|X=-1)-[E(Y|X=-1)]2=\frac{5}{9}.
$$
Passo 12
final_answer