Sejam X e Y variáveis aleatórias com distribuição conjunta dada pela tabela abaixo:
|l|l|l|l| hline mu rhoX Y
2 4 8
-1 X Y 0
0 E(X mid Y=y), y in2,4,8 E(X mid Y) 0
1 0 E(E(X mid Y)) Var(X mid Y=y), y in2,4,8
a. Obtenha o coeficiente de correlação linear Z=X+Y. Qual a melhor relação linear entre Z e X ? Com qual probabilidade essa relação ocorre?
b. Calcule E(Z mid X=-1).
c. Obtenha a distribuição de probabilidades da v.a. Var(Z mid X=-1).
d. Calcule .
e. Calcule .
f. Seja . e são independentes? Justifique.
g. Calcule e .

Passo 1

A questão apresenta uma distribuição conjunta discreta de duas variáveis aleatórias X∈{−1,0,1} e Y∈{2,4,8} dada por uma tabela. Vamos precisar calcular as distribuições marginais, as expectativas E(X), E(Y), a covariância, variâncias, o coeficiente de correlação linear ρ, a reta de regressão, expectativas condicionais, variâncias condicionais e verificar independência de Z=X+Y com X.

Passo 2

Calcular as marginais e as expectativas não condicionais.Para X: P(X=−1)=6/24, P(X=0)=6/24, P(X=1)=12/24. Logo
E(X)=(-1)cdot14+0cdot14+1cdot12=14
Para Y: P(Y=2)=6/24, P(Y=4)=8/24, P(Y=8)=10/24. Logo
E(Y)=2cdot14+4cdot13+8cdot512=316

Passo 3

Calcular E(XY) e Cov(X,Y).Usando a tabela,
E(XY)=sumx,yxy,P(X=x,Y=y)=3712,
logo
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=3712-14cdot316=4324

Passo 4

Calcular variâncias e ρ. Primeiro
$$E(Y2)=33,\quad\Var(Y)=33-\Bigl(\frac{31}{6}\Bigr)2=\frac{227}{36}.
E(X^2)=34,Var(X)=34-l(14r)^2=1116,ã\rho_{XY}=\frac{\Cov(X,Y)}{\sqrt{\Var(X),\Var(Y)}}=\frac{43/24}{(\sqrt{11/16},\sqrt{227/36})}=\frac{43}{\sqrt{2497}}\approx0{,}861.$$

Passo 5

Encontrar a reta de regressão de Y sobre X e a proporção explicada. O coeficiente angular é

o intercepto é
$$a=E(Y)-b,E(X)=\frac{31}{6}-\frac{86}{33}\cdot\frac{1}{4}=\frac{149}{33}.
b=Cov(X,Y)Var(X)=43/2411/16=8633,E(Y\mid X=x)=\frac{149}{33}+\frac{86}{33}x.
$$
A proporção da variância explicada (R²) é ρ²≈0,861²≈0,741.

Passo 6

Calcular E(X|Y=y) para y=2,4,8 usando P(X=x|Y=y)=P(x,y)/P(Y=y).Obtemos
$$E(X\mid Y=2)=-\frac{5}{6},\quad E(X\mid Y=4)=\frac{1}{8},\quad E(X\mid Y=8)=1.
$$

Passo 7

Distribuição de E(X|Y).A variável aleatória E(X|Y) toma valores e respectivas probabilidades:
$$E(X|Y)=-\frac{5}{6}com prob\frac{1}{4},\quad \frac{1}{8}com prob\frac{1}{3},\quad 1com prob\frac{5}{12}.
$$

Passo 8

Calcular E\bigl(E(X|Y)\bigr).Pela lei da iterada:
$$E\bigl(E(X|Y)\bigr)=E(X)=\frac{1}{4}.
$$

Passo 9

Calcular Var(X|Y=y).Usando
$$\Var(X|Y=y)=E(X2|Y=y)-[E(X|Y=y)]2,
$$temos
$$\Var(X|2)=\frac{5}{36},\quad \Var(X|4)=\frac{23}{64},\quad \Var(X|8)=0.
$$

Passo 10

Verificar independência de Z=X+Y e X.Para cada par (z,x), P(Z=z,X=x)=P(Y=z−x,X=x), que não fatoriza em f_Z(z)f_X(x). Logo Z e X não são independentes.

Passo 11

Calcular E(Z|X=−1) e Var(Z|X=−1).Como Z=−1+Y,
E(Z|X=-1)=-1+E(Y|X=-1)=-1+73=43,
$$\Var(Z|X=-1)=\Var(Y|X=-1)=E(Y2|X=-1)-[E(Y|X=-1)]2=\frac{5}{9}.
$$

Passo 12

final_answer

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