Determine os coeficientes de correlação linear entre as v.a.'s X e Y quando X assume os valores pm 1 e pm 2 com mesma probabilidade e Y=X^2.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de correlação linear entre as variáveis aleatórias X e Y, sabendo que X assume os valores ±1 e ±2 com mesma probabilidade e Y=X². Para isso a gente vai usar as definições de esperança, variância, covariância e a fórmula do coeficiente de correlação rhoX,Y=Cov(X,Y)raizVar(X),Var(Y).

Passo 2

Vamos calcular primeiro as esperanças. A esperança de X é
E[X]=sumx x,P(X=x)=(+1)+(-1)+(+2)+(-2)4=0

Passo 3

A esperança de Y é a de X²:
E[Y]=E[X^2]=1^2+(-1)^2+2^2+(-2)^24=1+1+4+44=2.5

Passo 4

Agora calculamos as variâncias. Para X temos
Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=2.5-0^2=2.5

Passo 5

Para Y precisamos de E[Y^2]=E[X^4]. Note que
E[X^4]=1^4+(-1)^4+2^4+(-2)^44=1+1+16+164=8.5

Passo 6

Então
Var(Y)=E[Y^2]-(E[Y])^2=8.5-(2.5)^2=8.5-6.25=2.25

Passo 7

Em seguida, a covariância entre X e Y é
Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=E[X^3]-0=1^3+(-1)^3+2^3+(-2)^34=1-1+8-84=0

Passo 8

Por fim, o coeficiente de correlação fica
rhoX,Y=0raiz2.5times2.25=0

Resposta

0

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