Sejam X e Y variáveis aleatórias com função densidade de probabilidade conjunta dada por: f_{X, Y}(x, y)=2(x+y) \boldsymbol{I}_{(0<x<y<1)}(x, y). Encontre a densidade de Z=X+Y.

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a densidade de Z=X+Y".\n
Informações dadas no enunciado:
f_{X,Y}(x,y)=2(x+y)\,\boldsymbol{I}_{(0<x<y<1)}(x,y),
ou seja, a função densidade conjunta vale 2(x+y) quando 0<x<y<1 e vale 0 fora dessa região. Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): para duas variáveis contínuas X e Y com densidade conjunta f_{X,Y}, a densidade de Z=X+Y é dada pela integral ao longo da reta y=z-x passando pelo suporte:
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}\bigl(x,\,z-x\bigr)\,dx,
onde a integração só conta os valores de x tais que (x,z-x) esteja no suporte de f_{X,Y}. Essa fórmula vem da transformação de variáveis e da definição de densidade marginal do somatório: somamos (integrando) as probabilidades de todos os pares (x,y) que resultam em x+y=z.

Passo 3

Vamos traduzir a condição do suporte 0<x<y<1 em termos de x quando y=z-x. Substituindo y=z-x temos as desigualdades:
0 < x < z-x < 1.
Essas três desigualdades se traduzem em duas condições úteis:
x>0,\qquad x<z-x\quad\text{e}\quad z-x<1.

Passo 4

Resolver as desigualdades para obter os limites de integração em x.
  • Da desigualdade x<z-x obtemos 2x<z ou seja
x<\frac{z}{2}.
  • Da desigualdade z-x<1 obtemos x>z-1.
  • Também precisamos de x>0.
Portanto o intervalo de integração em x é
\bigl(\max(0,\,z-1),\\ \min\bigl(\tfrac{z}{2},\,1\bigr)\bigr),
mas observe que, para os valores de z que realmente interessam ( 0<z<2), temos \tfrac{z}{2}\le 1 (porque z<2\Rightarrow z/2<1). Assim o limite superior é simplesmente z/2. O limite inferior é \max(0,z-1). Concluímos que os limites práticos são:
  • se 0<z<1: \max(0,z-1)=0 e x\in(0,\tfrac{z}{2});
  • se 1<z<2: \max(0,z-1)=z-1 e x\in(z-1,\tfrac{z}{2});
  • para z\le 0 ou z\ge 2 não há pontos (x,y) no suporte com x+y=z, logo f_Z(z)=0.

Passo 5

Agora escrevemos a integral para f_Z(z) usando os limites obtidos. Lembre que y=z-x, então x+y=z dentro do integrando. Assim
f_Z(z)=\int_{x=\text{lim}_\text{inf}}^{x=\text{lim}_\text{sup} } 2\bigl(x+(z-x)\bigr)\,dx =\int_{\text{lim}_\text{inf}}^{\text{lim}_\text{sup}} 2z\,dx,
porque x+(z-x)=z. Note: isso simplifica muito a integral — o integrando fica constante igual a 2z sobre o intervalo admissível em x.

Passo 6

Cálculo para 0<z<1. Os limites são x\in(0,\tfrac{z}{2}). Então
f_Z(z)=\int_{0}^{\tfrac{z}{2}} 2z\,dx = 2z\left(\frac{z}{2}-0\right)=2z\cdot\frac{z}{2}=z^2.

Passo 7

Cálculo para 1<z<2. Os limites são x\in(z-1,\tfrac{z}{2}). Então
f_Z(z)=\int_{z-1}^{\tfrac{z}{2}} 2z\,dx = 2z\left(\frac{z}{2}-(z-1)\right).
Agora simplificamos o comprimento do intervalo:
\frac{z}{2}-(z-1)=\frac{z}{2}-z+1=1-\frac{z}{2}=\frac{2-z}{2}.
Portanto
f_Z(z)=2z\cdot\frac{2-z}{2}=z(2-z)=2z-z^2.

Passo 8

Checagem rápida de continuidade e normalização (importante para ficar tranquilo na prova):
  • Em z=1 as duas fórmulas coincidem: z^2\big|_{z=1}=1 e 2z-z^2\big|_{z=1}=1. Logo f_Z é contínua em z=1.
  • Verificação da integral total (só para confirmar que é uma densidade):
\int_{0}^{1} z^2\,dz + \int_{1}^{2} (2z-z^2)\,dz = \left[\frac{z^3}{3}\right]_0^1 + \left[z^2-\frac{z^3}{3}\right]_1^2 = \frac{1}{3} + \left(4-\frac{8}{3}\right)-\left(1-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{4}{3}-\frac{2}{3}=1.
Então a função encontrada integra 1, tudo consistente.

Resposta

Para 0<z<1: f_Z(z)=z^2\n
Para 1<z<2: f_Z(z)=2z-z^2\n
Para z\le 0 ou z\ge 2: f_Z(z)=0

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