Sejam X e Y variáveis aleatórias com função densidade de probabilidade conjunta dada por: f_{X, Y}(x, y)=2(x+y) \boldsymbol{I}_{(0<x<y<1)}(x, y). Encontre a densidade de Z=X+Y.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre a densidade de Z=X+Y".\n
Informações dadas no enunciado:
ou seja, a função densidade conjunta vale 2(x+y) quando 0<x<y<1 e vale 0 fora dessa região. Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): para duas variáveis contínuas X e Y com densidade conjunta f_{X,Y}, a densidade de Z=X+Y é dada pela integral ao longo da reta y=z-x passando pelo suporte:
onde a integração só conta os valores de x tais que (x,z-x) esteja no suporte de f_{X,Y}. Essa fórmula vem da transformação de variáveis e da definição de densidade marginal do somatório: somamos (integrando) as probabilidades de todos os pares (x,y) que resultam em x+y=z.
Passo 3
Vamos traduzir a condição do suporte 0<x<y<1 em termos de x quando y=z-x. Substituindo y=z-x temos as desigualdades:
0 < x < z-x < 1.
Essas três desigualdades se traduzem em duas condições úteis:
x>0,\qquad x<z-x\quad\text{e}\quad z-x<1.
Passo 4
Resolver as desigualdades para obter os limites de integração em x.
mas observe que, para os valores de z que realmente interessam (0<z<2), temos \tfrac{z}{2}\le 1 (porque z<2\Rightarrow z/2<1). Assim o limite superior é simplesmente z/2. O limite inferior é \max(0,z-1). Concluímos que os limites práticos são:
se 0<z<1: \max(0,z-1)=0 e x\in(0,\tfrac{z}{2});
se 1<z<2: \max(0,z-1)=z-1 e x\in(z-1,\tfrac{z}{2});
para z\le 0 ou z\ge 2 não há pontos (x,y) no suporte com x+y=z, logo f_Z(z)=0.
Passo 5
Agora escrevemos a integral para f_Z(z) usando os limites obtidos. Lembre que y=z-x, então x+y=z dentro do integrando. Assim