Clientes chegam em um banco a uma taxa
, ou seja, a chegada de clientes em um banco é uma variável aleatória
com distribuição de
. Seja
a probabilidade de um cliente permanecer no banco. Seja
a variável aleatória que conta o número total de clientes que permanecem no banco e seja
a variável aleatória que representa o número de clientes que já saíram dele, ou seja,
. Mostre que a distribuição do número de clientes que saíram do banco é Poisson com parâmetro
. Ou seja, mostre que
.
Observação: Alguns exercícios retirados do livro Probabilidade e Variáveis Aleatórias de Marco Antonio Magalhães - 2.ed. - 2006-428p.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
- Chegadas de clientes no banco são contadas por uma variável aleatória ) com distribuição ).
- Cada cliente, ao chegar, permanece no banco com probabilidade ) (e, portanto, sai com probabilidade )). Presumimos que as decisões de permanecer/sair são independentes entre os clientes.
- ) é o número total de clientes que permanecem no banco.
- ) é o número total de clientes que saíram do banco; foi dado que ).
O que o exercício pede: mostrar que
) tem distribuição Poisson com parâmetro
), ou seja, provar que
).
Passo 2
Estratégia básica (sem detalhes ainda): condicionamos em
) e usamos a lei da probabilidade total. Primeiro explico a distribuição condicional de
) dado
).
Se soubéssemos que exatamente
) clientes chegaram, então cada um, independente, sai com probabilidade
). Contar quantos saem dentre os
) é um problema clássico: segue a distribuição binomial. Ou seja, sob a condição
) temos
Vou escrever explicitamente a massa de probabilidade dessa binomial no próximo passo.
Passo 3
Relembrando a fórmula da distribuição binomial (muito útil): se
), então, para
),
Aqui
). Aplicando com
) para a nossa condicional, obtemos, para
),
Observe que
) se
), porque não podem sair mais clientes do que chegaram.
Passo 4
Relembrando a fórmula da distribuição de Poisson (para usar depois): se
), então para
)
Passo 5
Agora aplicamos a lei total da probabilidade para
). Para um
) fixo,
Mas, como notei,
) para
). Logo podemos começar a soma em
):
Passo 6
Vamos simplificar a expressão algébrica dentro da soma. Use a relação
) e cancele com
):
Substituindo na soma,
Passo 7
Fazer a mudança de índice para simplificar a soma: defina
). Quando
) varia de
) a
), então
) varia de
) a
). Substituindo
) dentro da soma,
Passo 8
Reconhecemos a série de Taylor da exponencial. Para todo
,
Aplicando com
obtemos
Substituindo isso na expressão do passo anterior:
Passo 9
Agora volte à expressão para
) do Passo 6 e substitua o resultado do Passo 8:
Juntando os fatores exponenciais e os termos em
e
,
Esta é precisamente a massa de probabilidade da distribuição
) avaliada em
).
Passo 10
Conclusão interpretativa e comentário didático: o que fizemos é o cálculo direto via mistura (condicionamento) — condicionar no número total de chegadas
), observar que, dado
), o número que sai é binomial
), e então “descondicionar” somando sobre
) com a probabilidade de
). Uma outra forma mais conceitual (mais curta) é mencionar a propriedade de “thinning” da Poisson: se cada chegada é mantida com probabilidade
) e removida com probabilidade
) independentemente, então os números de mantidos e removidos são variáveis Poisson independentes com parâmetros
) e
). O cálculo acima é a demonstração elementar dessa propriedade.