Sejam X e Y variáveis aleatórias i i d U(0,1). Sejam Z=X+Y e W=X-Y. Encontre a densidade conjunta de Z e W e as marginais de Z e de W.

Passo 1

O enunciado dá que X\) e \(Y\) são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição uniforme no intervalo \([0,1]\), ou seja cada uma tem densidade \[f_X(x)=f_Y(y)=\begin{cases}1,&0\le x\le1\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}
Definimos as transformações
Z = X+Y,\qquad W = X-Y.
O que se pede:
  • A densidade conjunta de (Z,W)\], isto é \(f_{Z,W}(z,w).
  • As densidades marginais f_Z(z) e f_W(w).
As informações relevantes: a densidade conjunta original é f_{X,Y}(x,y)=1 para (x,y)\in[0,1]^2 e zero fora. A transformação (x,y)\mapsto(z,w) é linear e (esperamos) invertível — vamos usar isso.]

Passo 2

Método: mudança de variáveis para densidades. Se (Z,W)=T(X,Y)\) é uma transformação invertível e \((X,Y)=T^{-1}(Z,W)\) tem derivadas, então \[f_{Z,W}(z,w)=f_{X,Y}\big(x(z,w),y(z,w)\big)\cdot\Big|\det\!\big(J_{(x,y)}^{(z,w)}\big)\Big|,
onde J_{(x,y)}^{(z,w)} é a matriz jacobiana da transformação inversa (z,w)\mapsto(x,y), i.e. a matriz de derivadas parciais de (x,y) em relação a (z,w). Vou encontrar primeiro a inversa (x,y) em função de (z,w).
Resolvo o sistema
\begin{cases} z=x+y,\\[4pt] w=x-y. \end{cases}
Somando as duas equações obtenho z+w=2x\], logo \[x=\frac{z+w}{2}.\] Subtraindo a segunda da primeira: \(z-w=2y, logo
y=\frac{z-w}{2}.
Essas são as expressões da inversa (x(z,w),y(z,w)).]

Passo 3

Agora calculo a matriz jacobiana da inversa. As derivadas parciais são:
\frac{\partial x}{\partial z}=\frac{1}{2},\qquad \frac{\partial x}{\partial w}=\frac{1}{2},
\frac{\partial y}{\partial z}=\frac{1}{2},\qquad \frac{\partial y}{\partial w}=-\frac{1}{2}.
A matriz jacobiana é
J_{(x,y)}^{(z,w)}= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.
O determinante desta matriz é
\det J = \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}.
Tomando valor absoluto,
\Big|\det J\Big|=\frac{1}{2}.]

Passo 4

Determine a região onde f_{Z,W}(z,w) pode ser positiva. Como f_{Z,W}(z,w)=f_{X,Y}(x,y)\cdot\frac{1}{2}, a densidade é não nula somente quando (x,y) obtidos pela inversa pertencem ao quadrado [0,1]^2. Usando x=\frac{z+w}{2} e y=\frac{z-w}{2}, as condições 0\le x\le1 e 0\le y\le1 equivalem a
0\le \frac{z+w}{2}\le 1\quad\text{e}\quad 0\le \frac{z-w}{2}\le 1.
Multiplicando por 2 obtemos
0\le z+w\le 2\quad\text{e}\quad 0\le z-w\le 2.
Essas duas desigualdades implicam, para um dado w,
-w\le z\le 2-w\quad\text{e}\quad w\le z\le 2+w.
A interseção dessas faixas de z é
\max(-w,w)\le z\le \min(2-w,2+w).
Como \max(-w,w)=|w| e \min(2-w,2+w)=2-|w|, obtemos a descrição limpa da região:
|w|\le z\le 2-|w|\quad\text{e}\quad |w|\le 1.
Portanto w varia em [-1,1] e, para cada w nessa faixa, z varia entre |w| e 2-|w|. Isso também implica z\in[0,2].

Passo 5

Usando tudo acima, como f_{X,Y}(x,y)=1\) no quadrado e zero fora, temos \[f_{Z,W}(z,w)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}, & \text{se }|w|\le 1\\ \text{e}\\ |w|\le z\le 2-|w|,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Em palavras: a densidade conjunta é constante igual a 1/2\] na região poligonal obtida pela imagem do quadrado \([0,1]^2 e zero fora.]

Passo 6

Agora vou obter a marginal f_Z(z)\) integrando \(f_{Z,W}(z,w)\) em \(w\). Para um \(z\) fixo, os valores de \(w\) permitidos são aqueles que satisfazem \(|w|\le \min(z,2-z)\) (porque precisamos de \(|w|\le z\) e \(|w|\le 2-z\) simultaneamente). Então denoto \(m=\min\{z,2-z\}\). Assim \[f_Z(z)=\int_{-m}^{m}\frac{1}{2}\,dw=\frac{1}{2}\cdot(2m)=m.
Como z\in[0,2], m é z quando 0\le z\le 1 e é 2-z quando 1\le z\le 2. Fora de [0,2] a densidade é zero. Portanto
f_Z(z)=\begin{cases} z, & 0\le z\le 1,\\[4pt] 2-z, & 1\le z\le 2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Observação intuitiva: isso coincide com a convolução da densidade uniforme com ela mesma — a soma de duas U(0,1)\] tem essa densidade triangular (Irwin–Hall para \(n=2).]

Passo 7

Para f_W(w)\) integro \(f_{Z,W}\) em \(z\). Pelas condições da região, para um \(w\) fixo com \(|w|\le1\) temos \(z\in[|w|,\,2-|w|]\). Logo \[f_W(w)=\int_{|w|}^{2-|w|}\frac{1}{2}\,dz=\frac{1}{2}\big(2-2|w|\big)=1-|w|.
Fora de [-1,1] a densidade é zero. Assim
f_W(w)=\begin{cases} 1-|w|, & |w|\le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Isso faz sentido: W=X-Y\] é a diferença de duas uniformes independentes, produzindo uma densidade triangular simétrica em \([-1,1].]

Resposta

f_{Z,W}(z,w)=\begin{cases}\dfrac{1}{2}, & \text{se }|w|\le 1\\ \text{e}\\ |w|\le z\le 2-|w|,\\[6pt]0, & \text{caso contrário.}\end{cases}á
f_Z(z)=\begin{cases}z, & 0\le z\le 1,\\[4pt]2-z, & 1\le z\le 2,\\[4pt]0, & \text{caso contrário.}\end{cases}á
f_W(w)=\begin{cases}1-|w|, & |w|\le 1,\\[4pt]0, & \text{caso contrário.}\end{cases}á]

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