Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de probabilidade comum dada pela função:
p(k)=\left\{\begin{array}{cc}c\left(\frac{6}{7}\right)^{k}, & k \in\{0,1,2,3, \ldots\} \\\ 0, & \text { caso contrário }\end{array}\right.ácom c uma constante. Resolva os itens abaixo.
(1,5) Determine a função de probabilidade de Z=X+Y.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Duas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas X\) e \(Y\). - A função de probabilidade comum é \[p(k)=\begin{cases} c\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}, & k\in\{0,1,2,\ldots\},\\[6pt] 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
com (c] uma constante desconhecida.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a função de probabilidade de Z=X+Y, ou seja, p_Z(z)=\mathbb{P}(Z=z) para z\in\{0,1,2,\ldots\}.]

Passo 2

Primeiro precisamos achar a constante de normalização c. Como p(k) é uma função de probabilidade,
\sum_{k=0}^{\infty} p(k)=1.
Substituindo p(k)=c\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k} obtemos
\sum_{k=0}^{\infty} c\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}=c\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}=1.
Aqui usamos a soma da série geométrica: para |r|<1,
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\dfrac{1}{1-r}.
Com r=\dfrac{6}{7} temos \sum_{k=0}^{\infty} (6/7)^{k}=\dfrac{1}{1-6/7}=\dfrac{1}{1/7}=7. Logo
c\cdot 7=1 \quad\Rightarrow\quad c=\dfrac{1}{7}.

Passo 3

Portanto a função de probabilidade de cada uma das variáveis é
p_X(k)=p_Y(k)=\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k},\qquad k\in\{0,1,2,\ldots\}.

Passo 4

Para variáveis discretas independentes, a função de probabilidade da soma é dada pela convolução:
p_Z(z)=\mathbb{P}(X+Y=z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} p_X(k)\,p_Y(z-k).
Aqui os suportes são k\ge 0 e z-k\ge 0, portanto a soma efetiva é de k=0 até k=z (e só vale para z\ge 0). Assim
p_Z(z)=\sum_{k=0}^{z} p_X(k)\,p_Y(z-k),\qquad z\in\{0,1,2,\ldots\}.

Passo 5

Substituindo p_X e p_Y na expressão da convolução:
p_Z(z)=\sum_{k=0}^{z}\left[\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}\right]\left[\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{\,z-k}\right].
Dentro da soma podemos fatorar as partes que não dependem de k:
p_Z(z)=\sum_{k=0}^{z}\dfrac{1}{49}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{z} =\dfrac{1}{49}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{z}\sum_{k=0}^{z}1.
O número de termos na soma é z+1, logo
p_Z(z)=\dfrac{z+1}{49}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{z},\qquad z\in\{0,1,2,\ldots\}.

Passo 6

Breve verificação de normalização (para ganhar confiança): com r=\dfrac{6}{7} vale a soma conhecida
\sum_{z=0}^{\infty}(z+1)r^{z}=\dfrac{1}{(1-r)^{2}}.
Com r=6/7 obtemos \sum_{z\ge0}(z+1)(6/7)^{z}=49. Multiplicando por 1/49 resulta 1, confirmando que p_Z é uma pmf válida.
Também é útil reconhecer que Z segue uma distribuição binomial negativa (ou Pascal) com parâmetros r=2 e p=1/7; isso dá a mesma fórmula
p_Z(z)=\binom{z+1}{1}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{z}\left(\dfrac{1}{7}\right)^{2}=(z+1)\left(\dfrac{6}{7}\right)^{z}\dfrac{1}{49}.

Resposta

p_Z(z)=\dfrac{z+1}{49}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{z},\qquad z\in\{0,1,2,\ldots\}.

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