Sejam
e
variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de probabilidade comum dada pela função:
com
uma constante. Resolva os itens abaixo.
Determine a função de probabilidade de
.
Passo 1
O enunciado dá:
- Duas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
com (c] uma constante desconhecida.
O que o enunciado pede:
- Determinar a função de probabilidade de
, ou seja, para .]
Passo 2
Primeiro precisamos achar a constante de normalização
. Como
é uma função de probabilidade,
Substituindo
obtemos
Aqui usamos a soma da série geométrica: para
,
Com
temos
. Logo
Passo 3
Portanto a função de probabilidade de cada uma das variáveis é
Passo 4
Para variáveis discretas independentes, a função de probabilidade da soma é dada pela convolução:
Aqui os suportes são
e
, portanto a soma efetiva é de
até
(e só vale para
). Assim
Passo 5
Substituindo
e
na expressão da convolução:
Dentro da soma podemos fatorar as partes que não dependem de
:
O número de termos na soma é
, logo
Passo 6
Breve verificação de normalização (para ganhar confiança): com
vale a soma conhecida
Com
obtemos
. Multiplicando por
resulta 1, confirmando que
é uma pmf válida.
Também é útil reconhecer que
segue uma distribuição binomial negativa (ou Pascal) com parâmetros
e
; isso dá a mesma fórmula