Sejam
e
variáveis aleatórias independentes, tais que
.
© Determine
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias independentes:
-
que segue uma distribuição Exponencial com parâmetro , ou seja, . -
que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro , ou seja, .
Queremos determinar a esperança matemática
e a variância
da variável
definida por:
Para resolver isso, vamos usar propriedades de esperança e variância para variáveis independentes e as características das distribuições Exponencial e Poisson.
Passo 2
Vamos calcular a esperança matemática
. Sabemos que a esperança é uma operação linear, ou seja:
Como
e
são independentes, a esperança do produto é o produto das esperanças:
Então, substituímos na expressão de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
.
Para
, a esperança é:
Para
, a esperança é:
Substituindo esses valores na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância
. Primeiro, expandimos
:
A variância de
pode ser calculada como:
Como
e
são independentes, a variância do produto é:
Passo 5
Vamos encontrar
. Para
, a variância é:
E sabemos que
, então:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão da variância:
Resposta
A esperança matemática e a variância de
são dadas por: