Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, tais que X sim Exponencial(alpha), Y sim Poison(lambda).
U=2 X Y+X
© Determine E[U] e Var[U].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias independentes:
  • U = 2XY + X que segue uma distribuição Exponencial com parâmetro , ou seja, .
  • que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro , ou seja, .
Queremos determinar a esperança matemática e a variância da variável definida por:
Para resolver isso, vamos usar propriedades de esperança e variância para variáveis independentes e as características das distribuições Exponencial e Poisson.

Passo 2

Vamos calcular a esperança matemática E[U] = E[2XY + X] = 2E[XY] + E[X] . Sabemos que a esperança é uma operação linear, ou seja:
E[XY] = E[X] cdot E[Y]
Como E[U] = 2E[X]E[Y] + E[X] e são independentes, a esperança do produto é o produto das esperanças:
Então, substituímos na expressão de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar E[X] = 1alpha e E[Y] = lambda .
Para E[U] = 2 ( 1alpha ) lambda + 1alpha = 2lambdaalpha + 1alpha = 2lambda + 1alpha , a esperança é:
Para , a esperança é:
Substituindo esses valores na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância U = 2XY + X = X(2Y + 1) . Primeiro, expandimos Var[U] = Var[X(2Y + 1)] :
Var[U] = E[X^2](2E[Y] + 1)^2 - [E[X](2E[Y] + 1)]^2
A variância de pode ser calculada como:
Como e são independentes, a variância do produto é:

Passo 5

Vamos encontrar Var[X] = 1alpha^2 . Para E[X^2] = Var[X] + (E[X])^2 = 1alpha^2 + ( 1alpha )^2 = 2alpha^2 , a variância é:
E sabemos que , então:

Passo 6

Substituindo Var[U] = 2alpha^2 (2lambda + 1)^2 - ( 1alpha (2lambda + 1) )^2 e Var[U] = 2(2lambda + 1)^2alpha^2 - (2lambda + 1)^2alpha^2 = (2lambda + 1)^2alpha^2 na expressão da variância:

Resposta

A esperança matemática e a variância de E[U] = 2lambda + 1alpha são dadas por:
Var[U] = (2lambda + 1)^2alpha^2

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