Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídos com distribuição geométrica com parâmetros p in(0,1) Obtenha: (a) P(X >= Y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e seguem a distribuição geométrica com o parâmetro $ p $ (onde $ p $ está entre 0 e 1). O que precisamos encontrar é a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a $ Y $, ou seja, $ P(X \geq Y) $. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma distribuição geométrica. A distribuição geométrica modela o número de tentativas até obter o primeiro sucesso em uma sequência de experimentos de Bernoulli (onde cada tentativa tem sucesso com probabilidade $ p $).
A função de probabilidade da distribuição geométrica é:
p
para $ k = 1, 2, 3, \dots $

Passo 3

Como $ X $ e $ Y $ são independentes e identicamente distribuídos, temos que:
X
para $ k = 1, 2, 3, \dots $

Passo 4

Queremos encontrar $ P(X \geq Y) $. Isso significa que, para cada valor possível de $ Y $, $ X $ deve ser maior ou igual a esse valor. Podemos expressar isso como:
P(X >= Y)
Vamos calcular cada parte dessa expressão.

Passo 5

Primeiro, já sabemos que:
P(Y = k) = (1 - p)^k - 1 p
Agora, precisamos encontrar $ P(X \geq k) $. Isso é a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a $ k $, que é:
P(X >= k)
Essa é uma série geométrica que soma para:
X

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
P(X >= Y) = sumk=1^infty (1 - p)^k - 1 p cdot (1 - p)^k - 1 = p sumk=1^infty (1 - p)^2(k - 1)
Simplificando a expressão:
P(X >= Y) = p sumk=1^infty (1 - p)^2(k - 1) = p sumk=0^infty (1 - p)^2k

Passo 7

A soma $ \sum_{k=0}^{\infty} (1 - p)^{2k} $ é uma série geométrica com razão $ (1 - p)^2 $. A soma de uma série geométrica infinita é:
sumk=0^infty (1 - p)^2k
desde que $ |r| < 1 $. Neste caso, $ r = (1 - p)^2 $, que satisfaz $ |r| < 1 $.
Portanto:
(1 - p)^2

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão para $ P(X \geq Y) $:
P(X >= Y)

Resposta

A probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a $ Y $ é:
X

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