Sejam
e
duas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídos com distribuição geométrica com parâmetros
Obtenha: (a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e seguem a distribuição geométrica com o parâmetro $ p $ (onde $ p $ está entre 0 e 1). O que precisamos encontrar é a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a $ Y $, ou seja, $ P(X \geq Y) $. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma distribuição geométrica. A distribuição geométrica modela o número de tentativas até obter o primeiro sucesso em uma sequência de experimentos de Bernoulli (onde cada tentativa tem sucesso com probabilidade $ p $).
A função de probabilidade da distribuição geométrica é:
para $ k = 1, 2, 3, \dots $
Passo 3
Como $ X $ e $ Y $ são independentes e identicamente distribuídos, temos que:
para $ k = 1, 2, 3, \dots $
Passo 4
Queremos encontrar $ P(X \geq Y) $. Isso significa que, para cada valor possível de $ Y $, $ X $ deve ser maior ou igual a esse valor. Podemos expressar isso como:
Vamos calcular cada parte dessa expressão.
Passo 5
Primeiro, já sabemos que:
Agora, precisamos encontrar $ P(X \geq k) $. Isso é a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a $ k $, que é:
Essa é uma série geométrica que soma para:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando a expressão:
Passo 7
A soma $ \sum_{k=0}^{\infty} (1 - p)^{2k} $ é uma série geométrica com razão $ (1 - p)^2 $. A soma de uma série geométrica infinita é:
desde que $ |r| < 1 $. Neste caso, $ r = (1 - p)^2 $, que satisfaz $ |r| < 1 $.
Portanto:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na expressão para $ P(X \geq Y) $:
Resposta
A probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a $ Y $ é: