Seja Y \sim \operatorname{Poisson}(\lambda) e X / Y=n \sim \operatorname{Bin}(n, p).
a) Calcule a distribuição de X.
b) Calcule a distribuição condicional de Y dado X.
Passo 1
O enunciado dá duas informações condicionais e pede duas coisas:
Informação 1: Y segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda. Ou seja, temos a informação
Perguntas:
a) Determinar a distribuição marginal de X (isto é, \mathbb{P}(X=x)).
b) Determinar a distribuição condicional de Y dado X (isto é, \mathbb{P}(Y=y\mid X=x)).
Passo 2
Vamos escrever explicitamente as duas funções massa de probabilidade que temos e explicar cada símbolo, para não pular nada.
onde p\in[0,1] é a probabilidade de “sucesso” por cada uma das y tentativas, e x\in\{0,1,\dots,y\}.
A estratégia padrão agora é obter a distribuição conjunta \mathbb{P}(X=x,Y=y) multiplicando \mathbb{P}(Y=y) por \mathbb{P}(X=x\mid Y=y), e a partir daí obter a marginal de X e a condicional inversa usando a definição de probabilidade condicional.
Passo 3
Calculemos a probabilidade conjunta \mathbb{P}(X=x,Y=y) para y\ge x (se y<x então \mathbb{P}(X=x\mid Y=y)=0):
Isto é, X tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda p.]
Passo 5
Interpretação didática (para você decorar e usar na prova): pense no seguinte cenário — Y conta o número total de “eventos” que aparecem num certo intervalo, com média \lambda. Cada evento é, independentemente, marcado como “sucesso” com probabilidade p (e como “fracasso” com probabilidade 1-p). Então X conta quantos desses eventos foram marcados como sucesso. O resultado clássico chamado “thinning” do Poisson diz que o número de sucessos X é Poisson com parâmetro \lambda p, e o número de fracassos Y-X é Poisson com parâmetro \lambda(1-p), e esses dois contadores são independentes. A fatoração que fizemos anteriormente mostra exatamente isso.
Passo 6
Agora vamos obter a distribuição condicional de Y dado X=x. Usamos a definição de probabilidade condicional:
Para y<x temos \mathbb{P}(Y=y\mid X=x)=0. Portanto, condicionada a X=x, a variável Y-x tem distribuição \operatorname{Poisson}(\lambda(1-p)). Em outras palavras,
Y\mid X=x \stackrel{d}{=} x + \operatorname{Poisson}(\lambda(1-p)).]
Passo 7
Resumo do que realmente importa na prova (cole na cabeça):
Marginal de X: X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda p).
Condicional de Y dado X=x: Y-x\sim\operatorname{Poisson}(\lambda(1-p)), i.e., Y\mid X=x = x + \operatorname{Poisson}(\lambda(1-p)).