Sejam E(X)=1 ; E(Y)=2 e E(W)=0, e X e Y são variáveis aleatórias independentes. Determine a esperança matemática de:
a. Z=3 X+4 Y+3 W+1;

Passo 1

O enunciado diz que temos três variáveis aleatórias com médias conhecidas:
Z = 3X + 4Y + 3W + 1 , e . Além disso, e são independentes (mas, na prática, independência não é nem necessária para esperança).
O que precisamos encontrar é a esperança de
O conteúdo envolvido aqui é a propriedade da linearidade da esperança, que diz que a esperança de soma é soma das esperanças e que constantes saem da esperança.

Passo 2

Teoria usada:
  1. E(-) é linear, isto é, E(X + Y) = E(X) + E(Y)
  2. Se E(aX) = a,E(X) é constante, então E(c) = c
  3. A esperança de uma constante é ela mesma:

Passo 3

Agora aplicamos essas regras em
Z = 3X + 4Y + 3W + 1
Usando linearidade:
E(Z) = E(3X) + E(4Y) + E(3W) + E(1)
Como E(Z) = 3E(X) + 4E(Y) + 3E(W) + 1 e E(Z) = 3cdot1 + 4cdot2 + 3cdot0 + 1 = 3 + 8 + 0 + 1 = 12 , temos
Substituindo , e :

Resposta

A esperança matemática de é 12.

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