Time A1 - 5 brasileiros, 4 americanos, 2 argentinos
Time A2-4 brasileiros, 2 americanos, 5 argentinos
Time A3-2 brasileiros, 5 americanos, 4 argentinos
Um time é selecionado ao acaso e deste time um jogador também é selecionado ao acaso. O jogador selecionado é americano. Qual a probabilidade do time A3 ter sido escolhido?
Time A2-4 brasileiros, 2 americanos, 5 argentinos
Time A3-2 brasileiros, 5 americanos, 4 argentinos
Um time é selecionado ao acaso e deste time um jogador também é selecionado ao acaso. O jogador selecionado é americano. Qual a probabilidade do time A3 ter sido escolhido?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos três times (A1, A2 e A3), cada um com 11 jogadores distribuídos entre brasileiros, americanos e argentinos. A gente escolhe um time ao acaso (todos têm a mesma chance) e, dentro dele, escolhe um jogador ao acaso. Sabendo que o jogador escolhido é americano, queremos descobrir qual a probabilidade de o time ter sido o A3.
Conteúdo: probabilidade condicional e teorema de Bayes. Vamos precisar:
Conteúdo: probabilidade condicional e teorema de Bayes. Vamos precisar:
- P(A₁), P(A₂), P(A₃) (priori de cada time)
- P(americano | Aᵢ) para i=1,2,3
- Teorema da probabilidade total e fórmula de Bayes
Passo 2
Definindo eventos:
- Aᵢ = “o time escolhido é o Aᵢ”, para i=1,2,3.
- E = “o jogador escolhido é americano”.
Como os times são escolhidos ao acaso e são três,
P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = 1/3.
Cada time tem 11 jogadores, então:
P(E | A₁) = número de americanos em A₁ / 11 = 4/11
P(E | A₂) = 2/11
P(E | A₃) = 5/11
Passo 3
Agora a probabilidade de sair um americano (evento E) é dada pela probabilidade total:
Passo 4
Por fim, aplicamos Bayes para achar P(A₃ | E):
Resposta
A probabilidade de o time escolhido ter sido o A3, dado que o jogador é americano, é
.