Sejam X, Y e Z iid normais (0,1). Mostre que W=\sqrt{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} tem função densidade de probabilidade dada por f_{W}(w)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} w^{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{w}^{2} / 2} \boldsymbol{I}_{(0, \infty)(\mathrm{w})}.

Passo 1

O enunciado dá que X, Y e Z são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição normal padrão, ou seja cada uma tem distribuição \mathcal{N}(0,1). Define-se a variável
W=\sqrt{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}.
O que se pede: mostrar que a função densidade de probabilidade de W é
f_{W}(w)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\, w^{2} \mathrm{e}^{-w^{2}/2}\, I_{(0,\infty)}(w).
Informações relevantes dadas:
  • X,Y,Z são independentes;
  • cada uma tem densidade \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-x^{2}/2};
  • W é a norma euclidiana do vetor (X,Y,Z), ou seja o raio no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos escrever a probabilidade acumulada de W (a CDF) e depois derivar para obter a densidade. Por definição,
F_{W}(w)=P(W\le w)=P\big(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\le w^{2}\big).
Como (X,Y,Z) tem densidade conjunta dada pelo produto das densidades (pela independência), temos
f_{X,Y,Z}(x,y,z)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\mathrm{e}^{-(x^{2}+y^{2}+z^{2})/2}.
Portanto podemos escrever F_{W}(w) como uma integral da densidade conjunta sobre a bola de raio w centrada na origem:
F_{W}(w)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}\le w^{2}} \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\mathrm{e}^{-(x^{2}+y^{2}+z^{2})/2}\,dx\,dy\,dz.

Passo 3

Para avaliar a integral sobre a bola é muito conveniente usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas (variáveis r,\theta,\varphi) usamos:
\begin{aligned} x &= r\sin\theta\cos\varphi,\\\ y &= r\sin\theta\sin\varphi,\\\ z &= r\cos\theta, \end{aligned}
com r\ge0, \theta\in[0,\pi] (colatitude) e \varphi\in[0,2\pi) (longitude). O elemento de volume transforma como
dx\,dy\,dz = r^{2}\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi.
Nota: aqui r é justamente \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, que coincide com W quando aplicado às realizacões.

Passo 4

Substituindo a densidade e o elemento de volume na integral para F_{W}(w) obtemos (a integral sobre a bola vira r de 0 a w, \theta de 0 a \pi, \varphi de 0 a 2\pi):
F_{W}(w)=\int_{0}^{w}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\mathrm{e}^{-r^{2}/2}\, r^{2}\sin\theta \, d\varphi\, d\theta\, dr.
As integrais em \varphi e \theta são fáceis porque não dependem de \varphi nem de \theta exceto pelo \sin\theta:
\int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi,\qquad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta = 2.
Multiplicando obtemos o fator angular total 2\pi\cdot 2=4\pi.

Passo 5

Retirando o fator angular e o constante da normalização para fora da integral em r, obtemos
F_{W}(w)=\frac{4\pi}{(2\pi)^{3/2}} \int_{0}^{w} r^{2}\mathrm{e}^{-r^{2}/2}\, dr.
Agora simplificamos a constante:
\frac{4\pi}{(2\pi)^{3/2}}=\frac{4\pi}{2^{3/2}\pi^{3/2}} =\frac{4}{2^{3/2}\sqrt{\pi}} =\sqrt{\frac{2}{\pi}}.
Logo
F_{W}(w)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{w} r^{2}\mathrm{e}^{-r^{2}/2}\, dr.

Passo 6

Para obter a densidade f_{W}(w) derivamos F_{W}(w) em relação a w. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, diferenciando a integral cujo limite superior é w temos
f_{W}(w)=F_{W}'(w)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\, w^{2}\mathrm{e}^{-w^{2}/2},\qquad w>0.
Devemos também observar que W\ge0 sempre, então a densidade vale zero para w\le0. Introduzindo a função indicadora obtemos a forma final
f_{W}(w)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\, w^{2}\mathrm{e}^{-w^{2}/2}\, I_{(0,\infty)}(w).

Passo 7

Comentário didático rápido (reforço): uma outra forma de ver isso é notar que X^{2}+Y^{2}+Z^{2} tem distribuição qui-quadrado com 3 graus de liberdade ( \chi^{2}_{3}); se U\sim\chi^{2}_{3} então W=\sqrt{U} tem a chamada distribuição chi com 3 graus de liberdade, cuja densidade é exatamente a que obtivemos acima. A derivação por coordenadas esféricas mostrada aqui evita assumir resultados prévios e é direta para provas.

Resposta

f_{W}(w)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\, w^{2}\mathrm{e}^{-w^{2}/2}\, I_{(0,\infty)}(w)

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