Sejam
e
iid normais
. Mostre que
tem função densidade de probabilidade dada por
.
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição normal padrão, ou seja cada uma tem distribuição
. Define-se a variável
O que se pede: mostrar que a função densidade de probabilidade de
é
Informações relevantes dadas:
-
são independentes; - cada uma tem densidade
; -
é a norma euclidiana do vetor , ou seja o raio no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos escrever a probabilidade acumulada de
(a CDF) e depois derivar para obter a densidade. Por definição,
Como
tem densidade conjunta dada pelo produto das densidades (pela independência), temos
Portanto podemos escrever
como uma integral da densidade conjunta sobre a bola de raio
centrada na origem:
Passo 3
Para avaliar a integral sobre a bola é muito conveniente usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas (variáveis
) usamos:
com
,
(colatitude) e
(longitude). O elemento de volume transforma como
Nota: aqui
é justamente
, que coincide com
quando aplicado às realizacões.
Passo 4
Substituindo a densidade e o elemento de volume na integral para
obtemos (a integral sobre a bola vira
de
a
,
de
a
,
de
a
):
As integrais em
e
são fáceis porque não dependem de
nem de
exceto pelo
:
Multiplicando obtemos o fator angular total
.
Passo 5
Retirando o fator angular e o constante da normalização para fora da integral em
, obtemos
Agora simplificamos a constante:
Logo
Passo 6
Para obter a densidade
derivamos
em relação a
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, diferenciando a integral cujo limite superior é
temos
Devemos também observar que
sempre, então a densidade vale zero para
. Introduzindo a função indicadora obtemos a forma final
Passo 7
Comentário didático rápido (reforço): uma outra forma de ver isso é notar que
tem distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade (
); se
então
tem a chamada distribuição chi com
graus de liberdade, cuja densidade é exatamente a que obtivemos acima. A derivação por coordenadas esféricas mostrada aqui evita assumir resultados prévios e é direta para provas.