Use a soma de vetores e multiplicação por escalar para vetores no \mathbb{R}^{n} junto com as propriedades dos números reais para provar as seguintes propriedades de vetores:
e) (\alpha+\beta) x=\alpha x+\beta x
onde x, y, z são vetores quaisquer e \alpha, \beta são escalares quaisquer.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede-se provar a igualdade \,(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x\,.
  • Dados: x é um vetor qualquer em \mathbb{R}^{n} e \alpha,\beta são escalares quaisquer (números reais).
  • Não há outras hipóteses: a prova deve valer para qualquer n, qualquer vetor x e quaisquer escalares \alpha,\beta.

Passo 2

Escrever o vetor x por componentes e lembrar a definição das operações (isso é essencial para a prova).
  • Escrevemos o vetor x na forma por componentes:
x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}).
  • Definição de multiplicação por escalar (em \mathbb{R}^{n}, por convenção): para qualquer escalar \gamma,
\gamma x=(\gamma x_{1},\gamma x_{2},\dots,\gamma x_{n}).
  • Definição de soma de vetores (em \mathbb{R}^{n}, por convenção): se u=(u_{1},\dots,u_{n}) e v=(v_{1},\dots,v_{n}) então
u+v=(u_{1}+v_{1},\dots,u_{n}+v_{n}).
Estas definições significam que operações em \mathbb{R}^{n} são feitas coordenada a coordenada.

Passo 3

Calcular a componente i-ésima do lado esquerdo (\alpha+\beta)x.
Pela definição de multiplicação por escalar,
(\alpha+\beta)x=\big((\alpha+\beta)x_{1},\,(\alpha+\beta)x_{2},\,\dots,\,(\alpha+\beta)x_{n}\big).

Passo 4

Calcular a componente i-ésima do lado direito \alpha x+\beta x.
Primeiro calcule \alpha x e \beta x usando a definição:
\alpha x=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots,\alpha x_{n}), \qquad \beta x=(\beta x_{1},\beta x_{2},\dots,\beta x_{n}).
Somando coordenada a coordenada,
\alpha x+\beta x=\big(\alpha x_{1}+\beta x_{1},\,\alpha x_{2}+\beta x_{2},\,\dots,\,\alpha x_{n}+\beta x_{n}\big).

Passo 5

Usar a propriedade distributiva nos números reais em cada componente.
Para cada i\in\{1,\dots,n\} vale, nos reais, a distributividade da multiplicação sobre a adição:
(\alpha+\beta)x_{i}=\alpha x_{i}+\beta x_{i}.
Esta igualdade é uma propriedade dos números reais (não depende de nada de vetores): multiplicar a soma \alpha+\beta por x_{i} dá a soma dos produtos \alpha x_{i} e \beta x_{i}.

Passo 6

Concluir que os dois vetores são iguais, coordenada a coordenada.
Pelo Passo 3, a i-ésima componente de (\alpha+\beta)x é (\alpha+\beta)x_{i}.
Pelo Passo 4, a i-ésima componente de \alpha x+\beta x é \alpha x_{i}+\beta x_{i}.
Pelo Passo 5 essas duas quantidades coincidem para todo i. Logo todas as componentes de (\alpha+\beta)x coincidem com as de \alpha x+\beta x. Como dois vetores em \mathbb{R}^{n} são iguais se, e somente se, todas as suas componentes forem iguais, segue que
(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x.

Passo 7

Exemplo numérico para intuição (opcional, só para ver funcionando).
Tome x=(1,2,3), \alpha=2, \beta=3.
(\alpha+\beta)x=5\cdot(1,2,3)=(5,10,15).
\alpha x+\beta x=2\cdot(1,2,3)+3\cdot(1,2,3)=(2,4,6)+(3,6,9)=(5,10,15).
As duas expressões coincidem, como a prova geral mostrou.

Resposta

(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x

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