Use a soma de vetores e multiplicação por escalar para vetores no
junto com as propriedades dos números reais para provar as seguintes propriedades de vetores:
e)
onde
são vetores quaisquer e
são escalares quaisquer.
e)
onde
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede-se provar a igualdade
. - Dados:
é um vetor qualquer em e são escalares quaisquer (números reais). - Não há outras hipóteses: a prova deve valer para qualquer
, qualquer vetor e quaisquer escalares .
Passo 2
Escrever o vetor
por componentes e lembrar a definição das operações (isso é essencial para a prova).
- Escrevemos o vetor
na forma por componentes:
- Definição de multiplicação por escalar (em
, por convenção): para qualquer escalar ,
- Definição de soma de vetores (em
, por convenção): se e então
Estas definições significam que operações em
são feitas coordenada a coordenada.
Passo 3
Calcular a componente
-ésima do lado esquerdo
.
Pela definição de multiplicação por escalar,
Passo 4
Calcular a componente
-ésima do lado direito
.
Primeiro calcule
e
usando a definição:
Somando coordenada a coordenada,
Passo 5
Usar a propriedade distributiva nos números reais em cada componente.
Para cada
vale, nos reais, a distributividade da multiplicação sobre a adição:
Esta igualdade é uma propriedade dos números reais (não depende de nada de vetores): multiplicar a soma
por
dá a soma dos produtos
e
.
Passo 6
Concluir que os dois vetores são iguais, coordenada a coordenada.
Pelo Passo 3, a
-ésima componente de
é
.
Pelo Passo 4, a -ésima componente de
é
.
Pelo Passo 5 essas duas quantidades coincidem para todo . Logo todas as componentes de
coincidem com as de
. Como dois vetores em
são iguais se, e somente se, todas as suas componentes forem iguais, segue que
Pelo Passo 4, a
Pelo Passo 5 essas duas quantidades coincidem para todo
Passo 7
Exemplo numérico para intuição (opcional, só para ver funcionando).
Tome
,
,
.
As duas expressões coincidem, como a prova geral mostrou.