Use a soma de vetores e multiplicação por escalar para vetores no \mathbb{R}^{n} junto com as propriedades dos números reais para provar as seguintes propriedades de vetores:
d) \alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y

Passo 1

O que o problema pede: provar a propriedade
\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y
para vetores x,y\in\mathbb{R}^{n} e escalar \alpha\in\mathbb{R}.
Informações e definições úteis que o enunciado nos dá (ou que usaremos):
  • Escrevemos os vetores em coordenadas como
x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),\qquad y=(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}),
onde cada x_{i},y_{i}\in\mathbb{R}.
  • A soma de vetores em \mathbb{R}^{n} é definida coordenada a coordenada:
x+y=(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\dots,\,x_{n}+y_{n}).
  • A multiplicação por escalar é definida coordenada a coordenada:
\alpha x=(\alpha x_{1},\,\alpha x_{2},\,\dots,\,\alpha x_{n}).
  • Vamos usar propriedades dos números reais, em especial a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição nos reais:
\alpha(a+b)=\alpha a+\alpha b\quad\text{para todos }a,b,\alpha\in\mathbb{R}.
  • Dois vetores em \mathbb{R}^{n} são iguais exatamente quando todas as suas coordenadas correspondentes são iguais.

Passo 2

Escrever x e y por coordenadas para trabalhar componente a componente:
x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),\qquad y=(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}).

Passo 3

Calcular x+y usando a definição da soma em \mathbb{R}^{n}:
x+y=(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\dots,\,x_{n}+y_{n}).

Passo 4

Aplicar a multiplicação por escalar ao vetor x+y, usando a definição de multiplicação por escalar:
\alpha(x+y)=(\alpha(x_{1}+y_{1}),\,\alpha(x_{2}+y_{2}),\,\dots,\,\alpha(x_{n}+y_{n})).

Passo 5

Aplicar a propriedade distributiva dos reais em cada coordenada: para cada índice i com 1\le i\le n vale
\alpha(x_{i}+y_{i})=\alpha x_{i}+\alpha y_{i},
porque x_{i},y_{i},\alpha\in\mathbb{R} e a distributividade é uma propriedade dos reais.

Passo 6

Substituindo a identidade da distributividade nas coordenadas do passo anterior, obtemos
\alpha(x+y)=(\alpha x_{1}+\alpha y_{1},\,\alpha x_{2}+\alpha y_{2},\,\dots,\,\alpha x_{n}+\alpha y_{n}).

Passo 7

Agora escrevemos separadamente \alpha x e \alpha y pelas suas coordenadas:
\alpha x=(\alpha x_{1},\,\alpha x_{2},\,\dots,\,\alpha x_{n}), \qquad \alpha y=(\alpha y_{1},\,\alpha y_{2},\,\dots,\,\alpha y_{n}).
Somando esses dois vetores coordenada a coordenada obtemos
\alpha x+\alpha y=(\alpha x_{1}+\alpha y_{1},\,\alpha x_{2}+\alpha y_{2},\,\dots,\,\alpha x_{n}+\alpha y_{n}).

Passo 8

Comparando os resultados dos passos 6 e 7 vemos que as coordenadas de \alpha(x+y) e de \alpha x+\alpha y coincidem em cada posição. Como a igualdade entre vetores em \mathbb{R}^{n} é verificada coordenada a coordenada, concluímos que
\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y.

Passo 9

Exemplo numérico rápido para fixar a intuição: seja n=2, x=(1,3), y=(4,5) e \alpha=2. Então
x+y=(5,8),\qquad \alpha(x+y)=2(5,8)=(10,16).
Por outro lado
\alpha x=(2,6),\qquad \alpha y=(8,10),\qquad \alpha x+\alpha y=(10,16),
logo os dois lados coincidem no exemplo concreto, como a prova geral garantiu.

Resposta

\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y

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