Use a soma de vetores e multiplicação por escalar para vetores no
junto com as propriedades dos números reais para provar as seguintes propriedades de vetores:
d)
d)
Passo 1
O que o problema pede: provar a propriedade
para vetores
e escalar
.
Informações e definições úteis que o enunciado nos dá (ou que usaremos):
- Escrevemos os vetores em coordenadas como
onde cada
.
- A soma de vetores em
é definida coordenada a coordenada:
- A multiplicação por escalar é definida coordenada a coordenada:
- Vamos usar propriedades dos números reais, em especial a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição nos reais:
- Dois vetores em
são iguais exatamente quando todas as suas coordenadas correspondentes são iguais.
Passo 2
Escrever
e
por coordenadas para trabalhar componente a componente:
Passo 3
Calcular
usando a definição da soma em
:
Passo 4
Aplicar a multiplicação por escalar ao vetor
, usando a definição de multiplicação por escalar:
Passo 5
Aplicar a propriedade distributiva dos reais em cada coordenada: para cada índice
com
vale
porque
e a distributividade é uma propriedade dos reais.
Passo 6
Substituindo a identidade da distributividade nas coordenadas do passo anterior, obtemos
Passo 7
Agora escrevemos separadamente
e
pelas suas coordenadas:
Somando esses dois vetores coordenada a coordenada obtemos
Passo 8
Comparando os resultados dos passos 6 e 7 vemos que as coordenadas de
e de
coincidem em cada posição. Como a igualdade entre vetores em
é verificada coordenada a coordenada, concluímos que
Passo 9
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição: seja
,
,
e
. Então
Por outro lado
logo os dois lados coincidem no exemplo concreto, como a prova geral garantiu.