Sejam X e Y independente tais que X \sim \operatorname{Bin}(m, p) e Y \sim \operatorname{Bin}(n, p).
Obtenha a esperança condicional de X dada X+Y.

Passo 1

O enunciado dá que X e Y são independentes, com
X \sim \operatorname{Bin}(m,p),\qquad Y \sim \operatorname{Bin}(n,p).
A pergunta é: obter a esperança condicional de X dada X+Y.
Ou seja, queremos encontrar \mathbb{E}\bigl[X \mid X+Y\bigr], e em particular a forma explícita de \mathbb{E}\bigl[X \mid X+Y=k\bigr] para um valor k.

Passo 2

Idéia geral (sem calcular tudo ainda): os processos que geram X e Y podem ser vistos como m+n ensaios de Bernoulli idênticos (os primeiros m pertencem a X, os próximos n a Y). Condicionando no total de sucessos S:=X+Y=k, por simetria cada ensaio tem a mesma chance de estar entre os k sucessos. Vou transformar essa intuição em cálculo rigoroso usando variáveis indicadoras — é um caminho simples e que dá a resposta em forma linear.

Passo 3

Defino variáveis indicadoras para cada ensaio: para i=1,\dots,m+n\) seja \[T_i = \begin{cases} 1, & \text{se o \(i-ésimo ensaio é sucesso},\[4pt] 0, & se é fracasso. \end{cases}]
Então tenho as identidades
X = \sum_{i=1}^{m} T_i,\qquad Y = \sum_{i=m+1}^{m+n} T_i,\qquad S:=X+Y=\sum_{i=1}^{m+n} T_i.
Explicar o que cada símbolo significa: T_i indica um sucesso no i-ésimo ensaio; X é a soma dos primeiros m indicadores; S é a soma total de todos os m+n indicadores.]

Passo 4

Agora calculemos a esperança condicional componente a componente. Para um i fixo, consideramos \mathbb{E}\bigl[T_i \mid S=k\bigr]. Pela simetria (os m+n ensaios são idênticos e independentes antes da condição), condicionado a haver exatamente k sucessos no total, todos os conjuntos de k ensaios bem-sucedidos são igualmente prováveis. Portanto a probabilidade de um ensaio específico ser sucesso dado S=k é a fração k/(m+n). Em notação:
\mathbb{P}\bigl(T_i=1 \mid S=k\bigr)=\frac{k}{m+n}.
Logo
\mathbb{E}\bigl[T_i \mid S=k\bigr]=\frac{k}{m+n}.

Passo 5

Se preferir ver isto por contagem combinatória (rigor extra):
\mathbb{P}\bigl(T_i=1 \mid S=k\bigr)=\dfrac{\mathbb{P}(T_i=1,\,S=k)}{\mathbb{P}(S=k)}. O numerador conta as escolhas dos outros k-1 sucessos entre os m+n-1 ensaios restantes, ou seja \binom{m+n-1}{k-1}p^k(1-p)^{m+n-k}. O denominador é \binom{m+n}{k}p^k(1-p)^{m+n-k}. Fazendo a divisão obtemos
\mathbb{P}\bigl(T_i=1 \mid S=k\bigr)=\frac{\binom{m+n-1}{k-1}}{\binom{m+n}{k}}=\frac{k}{m+n},
confirmando o argumento por simetria.

Passo 6

Agora usamos linearidade da esperança condicionada: como X=\sum_{i=1}^m T_i,
\mathbb{E}\bigl[X \mid S=k\bigr]=\sum_{i=1}^m \mathbb{E}\bigl[T_i \mid S=k\bigr]= m\cdot\frac{k}{m+n}=\frac{m}{m+n}\,k.
Expliquei: somamos m vezes a mesma esperança de cada indicador condicionado ao total.

Passo 7

Por fim escrever a resposta como variável aleatória (não só condicionada a um valor k): substituindo k por S=X+Y obtemos
\mathbb{E}\bigl[X \mid X+Y\bigr]=\frac{m}{m+n}\,(X+Y).
Isso significa: dado o valor aleatório de X+Y, a esperança condicional de X é uma fração m/(m+n) desse total.

Resposta

\displaystyle \mathbb{E}\bigl[X \mid X+Y=k\bigr]=\frac{m}{m+n}\,k.
\displaystyle \mathbb{E}\bigl[X \mid X+Y\bigr]=\frac{m}{m+n}\,(X+Y).

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