Sejam
e
independente tais que
e
.
Obtenha a esperança condicional de
dada
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são independentes, com
A pergunta é: obter a esperança condicional de
dada
.
Ou seja, queremos encontrar , e em particular a forma explícita de
para um valor
.
Ou seja, queremos encontrar
Passo 2
Idéia geral (sem calcular tudo ainda): os processos que geram
e
podem ser vistos como
ensaios de Bernoulli idênticos (os primeiros
pertencem a
, os próximos
a
). Condicionando no total de sucessos
, por simetria cada ensaio tem a mesma chance de estar entre os
sucessos. Vou transformar essa intuição em cálculo rigoroso usando variáveis indicadoras — é um caminho simples e que dá a resposta em forma linear.
Passo 3
Defino variáveis indicadoras para cada ensaio: para
-ésimo ensaio é sucesso},\[4pt] 0, & se é fracasso. \end{cases}]
Então tenho as identidades
Explicar o que cada símbolo significa:
indica um sucesso no
-ésimo ensaio;
é a soma dos primeiros
indicadores;
é a soma total de todos os
indicadores.]
Passo 4
Agora calculemos a esperança condicional componente a componente. Para um
fixo, consideramos
. Pela simetria (os
ensaios são idênticos e independentes antes da condição), condicionado a haver exatamente
sucessos no total, todos os conjuntos de
ensaios bem-sucedidos são igualmente prováveis. Portanto a probabilidade de um ensaio específico ser sucesso dado
é a fração
. Em notação:
Logo
Passo 5
Se preferir ver isto por contagem combinatória (rigor extra):
. O numerador conta as escolhas dos outros
sucessos entre os
ensaios restantes, ou seja
. O denominador é
. Fazendo a divisão obtemos
confirmando o argumento por simetria.
Passo 6
Agora usamos linearidade da esperança condicionada: como
,
Expliquei: somamos
vezes a mesma esperança de cada indicador condicionado ao total.
Passo 7
Por fim escrever a resposta como variável aleatória (não só condicionada a um valor
): substituindo
por
obtemos
Isso significa: dado o valor aleatório de
, a esperança condicional de
é uma fração
desse total.