Sejam X1, ldots, Xn v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de Sn=X1+cdots+Xn, nos seguintes casos:
Xi sim Bin(ni, p)
para i=1, ldots, n.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos n variáveis aleatórias independentes
Sn = X1 + X2 + cdots + Xn, cada uma com distribuição Binomial .
A gente precisa usar a função geradora de momentos (MGF) pra descobrir qual é a distribuição da soma
Conteúdo: teoria de MGF e soma de variáveis independentes.
O que vamos usar:
  • Definição de MGF: .
  • Propriedade: MGF de soma de independentes é produto das MGFs.
  • MGF da Binomial é .

Passo 2

Antes de tudo, lembra o que é MGF.
Para qualquer v.a. MX(t)=El[e^tXr], a função geradora de momentos é
MX+Y(t) = MX(t)cdot MY(t)
O lance é que, se a gente souber , às vezes consegue identificar de qual distribuição vem.
E outra super vantagem: se e são independentes,

Passo 3

Vamos escrever a MGF de cada MXi(t) = l(1-p + p,e^tr)^ni.
Já sabemos (ou você pode provar usando a soma de eventos) que, para
MXi(t) = sumk=0^ni e^t kbinomnikp^k(1-p)^ni-k = l[(1-p)+p e^tr]^ni
a MGF é
Isso vem de

Passo 4

Agora, como MSn(t) = MX1+cdots+Xn(t) = prodi=1^n MXi(t) = prodi=1^n l(1-p + p,e^tr)^ni são independentes, usamos a propriedade de produto:
MSn(t) = l(1-p + p,e^tr)^,sumi=1^n ni
Mas multiplicar potências de mesma base é somar os expoentes:

Passo 5

Agora é batata: a MGF que a gente obteve

é exatamente a MGF de uma Binomial com parâmetros
e .
Logo, é Binomial .

Resposta

Sn sim Binl(;sumi=1^n ni,;pr)

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