Sejam
v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de
, nos seguintes casos:
para
.
para
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos n variáveis aleatórias independentes
, cada uma com distribuição Binomial
.
A gente precisa usar a função geradora de momentos (MGF) pra descobrir qual é a distribuição da soma
A gente precisa usar a função geradora de momentos (MGF) pra descobrir qual é a distribuição da soma
Conteúdo: teoria de MGF e soma de variáveis independentes.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Definição de MGF:
. - Propriedade: MGF de soma de independentes é produto das MGFs.
- MGF da Binomial
é .
Passo 2
Antes de tudo, lembra o que é MGF.
Para qualquer v.a. , a função geradora de momentos é
Para qualquer v.a.
O lance é que, se a gente souber
, às vezes consegue identificar de qual distribuição
vem.
E outra super vantagem: se e
são independentes,
E outra super vantagem: se
Passo 3
Vamos escrever a MGF de cada
.
Já sabemos (ou você pode provar usando a soma de eventos) que, para
a MGF é
Já sabemos (ou você pode provar usando a soma de eventos) que, para
a MGF é
Isso vem de
Passo 4
Agora, como
são independentes, usamos a propriedade de produto:
Mas multiplicar potências de mesma base é somar os expoentes:
Passo 5
Agora é batata: a MGF que a gente obteve
é exatamente a MGF de uma Binomial com parâmetros
e
.
Logo, é Binomial
.
é exatamente a MGF de uma Binomial com parâmetros
Logo,