Use a função geradora de momentos para obter os momentos de todas as ordens de X no seguinte caso:
X tem densidade fX(x)=12 e^-|x|, x in R

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar a função geradora de momentos (MGF) de uma variável aleatória X com densidade
fX(x)=tfrac12e^-|x|, xin R
para encontrar todos os momentos E[X^n].
Conteúdo: teoria de funções geradoras de momentos em probabilidade.
O que vamos precisar:
- Definição de MGF: MX(t)= E[e^tX].
- Saber integrar exponenciais em dois pedaços (para x<0 e x>0).
- Usar expansão em série de Taylor:
MX(t)=sumn=0^infty E[X^n]n!t^n

Passo 2

Vamos calcular a MGF:
MX(t)= E[e^tX]=integral-infty^inftye^tx,12e^-|x|,dx
Como há o valor absoluto, dividimos em duas integrais: uma de -infty a 0 e outra de 0 a infty.

Passo 3

Integral de -infty até 0:
$$\int_{-\infty}0\frac12e{tx}e^{-|x|},dx
=\frac12\int_{-\infty}0e{x(t+1)},dx. integral-infty^012e^txe^-|x|,dx =12integral-infty^0e^x(t+1),dx\frac12\Bigl[\frac{e{x(t+1)}}{t+1}\Bigr]_{x=-\infty}{0}
=\frac12\cdot\frac{1-0}{t+1}
=\frac{1}{2(t+1)}.$$

Passo 4

Integral de 0 até infty:
$$\int_{0}{\infty}\frac12e{tx}e^{-|x|},dx
=\frac12\int_{0}{\infty}e{x(t-1)},dx. integral0^infty12e^txe^-|x|,dx =12integral0^inftye^x(t-1),dx\frac12\Bigl[\frac{e{x(t-1)}}{t-1}\Bigr]_{0}{\infty}
=\frac12\cdot\frac{0-1}{t-1}
=\frac{1}{2(1-t)}.$$

Passo 5

Somando as duas partes:
MX(t)=12(t+1)+12(1-t) =1-t+1+t2(1-t^2) =11-t^2, |t|<1

Passo 6

Agora, pela definição de MGF em série de Taylor:
MX(t)=sumn=0^infty E[X^n]n!t^n
Por outro lado, usamos a expansão de série geométrica em t^2:
$$\frac{1}{1-t2}=\sum_{k=0}{\infty}(t2)k
=\sum_{k=0}{\infty}t{2k}.$$
Isso significa que só aparecem potências pares de 11-t^2=sumk=0^infty(t^2)^k =sumk=0^inftyt^2k, e o coeficiente de t é 1.

Passo 7

Compare termo a termo:
  • Para n=2k (par), E[X^2k](2k)!=1 Longrightarrow E[X^2k]=(2k)!
  • Para n ímpar, não há termo t^n, logo E[X^n]=0se $n$ é ímparéí

Resposta

Para todo k=0,1,2,dots:
$

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