Use a função geradora de momentos para obter os momentos de todas as ordens de
no seguinte caso:
tem densidade
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra usar a função geradora de momentos (MGF) de uma variável aleatória
com densidade
para encontrar todos os momentos
Conteúdo: teoria de funções geradoras de momentos em probabilidade.
O que vamos precisar:
- Definição de MGF:
- Saber integrar exponenciais em dois pedaços (para
- Usar expansão em série de Taylor:
Passo 2
Vamos calcular a MGF:
Como há o valor absoluto, dividimos em duas integrais: uma de
Passo 3
Integral de
até
:
$$\int_{-\infty}0\frac12e{tx}e^{-|x|},dx
=\frac12\int_{-\infty}0e{x(t+1)},dx.
\frac12\Bigl[\frac{e{x(t+1)}}{t+1}\Bigr]_{x=-\infty}{0}
=\frac12\cdot\frac{1-0}{t+1}
=\frac{1}{2(t+1)}.$$
Passo 4
Integral de
até
:
$$\int_{0}{\infty}\frac12e{tx}e^{-|x|},dx
=\frac12\int_{0}{\infty}e{x(t-1)},dx.
\frac12\Bigl[\frac{e{x(t-1)}}{t-1}\Bigr]_{0}{\infty}
=\frac12\cdot\frac{0-1}{t-1}
=\frac{1}{2(1-t)}.$$
Passo 5
Somando as duas partes:
Passo 6
Agora, pela definição de MGF em série de Taylor:
Por outro lado, usamos a expansão de série geométrica em
$$\frac{1}{1-t2}=\sum_{k=0}{\infty}(t2)k
=\sum_{k=0}{\infty}t{2k}.$$
Isso significa que só aparecem potências pares de , e o coeficiente de
é 1.
Isso significa que só aparecem potências pares de
Passo 7
Compare termo a termo:
- Para
(par), - Para
ímpar, não há termo , logo
Resposta
Para todo
:
$