Sejam
v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de
, no seguinte caso:
para
.
para
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos
independentes, cada uma
. A ideia é usar a função geradora de momentos (mgf) pra descobrir qual é a distribuição da soma
Então vamos precisar de:
- Saber o que é um mgf e como ela se comporta com variáveis independentes (multiplica).
- Conhecer o mgf da exponencial e reconhecer a forma resultante.
Passo 2
Primeiro, lembrando a definição de mgf de uma v.a.
:
No caso de
, a densidade é
para
. Então
Passo 3
Como
são independentes, a mgf de
é o produto das mgfs:
Agora basta reconhecer: essa mgf é exatamente a mgf de uma distribuição Gama (ou Erlang, no caso inteiro) com forma
e taxa
.