Sejam X1, ldots, Xn v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de Sn=X1+cdots+Xn, no seguinte caso:
Xi sim Exp(lambda)
para i=1, ldots, n.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos Sn = X1 + cdots + Xn independentes, cada uma . A ideia é usar a função geradora de momentos (mgf) pra descobrir qual é a distribuição da soma
Então vamos precisar de:
  • Saber o que é um mgf e como ela se comporta com variáveis independentes (multiplica).
  • Conhecer o mgf da exponencial e reconhecer a forma resultante.

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição de mgf de uma v.a. MX(t) = E[e^tX] :
MXi(t) =integral0^infty e^tx,lambda e^-lambda x,dx =lambdaintegral0^infty e^-(lambda - t)x,dx =lambdacdot1lambda - t =lambdalambda - t, t
No caso de , a densidade é para . Então

Passo 3

Como MSn(t) =prodi=1^n MXi(t) =l(lambdalambda - tr)^n são independentes, a mgf de é o produto das mgfs:
Agora basta reconhecer: essa mgf é exatamente a mgf de uma distribuição Gama (ou Erlang, no caso inteiro) com forma e taxa .

Resposta

fSn(s) =lambda^n,s^n-1e^-lambda s(n-1)!, s>=0 segue uma distribuição Gamma (Erlang) com parâmetros e . Sua densidade é

Exercícios relacionados