Sejam X1 sim Bernoulli(1 / 2) e X2 sim Bernoulli(1 / 2) duas v.a.'s independentes.
a. Calcule E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
b. Calcule var (X1+X2)=var(X1)+var(X2).
c. Calcule P(X1=0, X2=0), P(X1=0, X2=1), P(X1=1, X2=0) e P(X1=1, X2=1).
d. A partir dos resultados obtidos no item anterior, calcule a probabilidade de que apenas uma das Xi (independente de qual seja) seja igual a 1 , i=1,2.

Passo 1

O enunciado diz que X1 e X2 são variáveis de Bernoulli com parâmetro p=tfrac12 e independentes, e pede:
a) E(X1+X2);
b) Var(X1+X2);
c) as probabilidades conjuntas P(X1=x1,X2=x2) para (x1,x2)in0,1^2;
d) a probabilidade de exatamente uma das Xi valer 1.

Passo 2

Para qualquer Bernoulli com parâmetro p vale
E(X)=p, Var(X)=p(1-p)
Aqui p=tfrac12, logo
E(X1)=E(X2)=tfrac12
Pela linearidade da expectativa,
E(X1+X2) =E(X1)+E(X2) =tfrac12+tfrac12 =1

Passo 3

Como Var(Xi)=p(1-p)=tfrac12l(1-tfrac12r)=tfrac14 e X1,X2 são independentes, vale
Var(X1+X2) =Var(X1)+Var(X2) =tfrac14+tfrac14 =tfrac12

Passo 4

Pela independência,
  • P(X1=0,X2=0)=P(X1=0),P(X2=0) =(tfrac12)(tfrac12)=tfrac14
  • P(X1=0,X2=1)=(tfrac12)(tfrac12)=tfrac14
  • P(X1=1,X2=0)=(tfrac12)(tfrac12)=tfrac14
  • P(X1=1,X2=1)=(tfrac12)(tfrac12)=tfrac14

Passo 5

A probabilidade de exatamente uma ser 1 é
P(uma só va<= 1) =P(X1=1,X2=0)+P(X1=0,X2=1) =tfrac14+tfrac14 =tfrac12 ó

Resposta

a) E(X1+X2)=1
b) Var(X1+X2)=tfrac12
c) P(0,0)=tfrac14, P(0,1)=tfrac14, P(1,0)=tfrac14, P(1,1)=tfrac14
d) tfrac12

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