Suponha que um professor esteja aplicando uma prova de múltipla escolha com n=10 questões, e que cada questão tenha apenas 1 dentre 4 alternativas corretas. Assumindo que as questões sejam independentes, podemos modelar então a quantidade de questões que um aluno acerte aleatoriamente (isto é, “chutando”) através de uma v.a. X sim Binomial(10,1 / 4).
a. Calcule E(X).
b. Calcule var (X).
c. Supondo que o número mínimo necessário de questões corretas para que o aluno seja aprovado na prova seja igual a 6, calcule a probabilidade de que o aluno seja aprovado, isto é, calcule P(X >= 6).
d. Com base na sua resposta ao item anterior, calcule a probabilidade de que o aluno não seja aprovado na prova ao responder as questões aleatoriamente. Qual é o cenário mais provável nesse caso? Comente.

Passo 1

O enunciado define uma v.a. XsimBinomial(n=10,p=1/4) que conta o número de acertos “no chute” numa prova de 10 questões. Vamos usar as fórmulas da Distribuição Binomial para calcular:
  1. E(X)
  2. Var(X)
  3. P(X>=6)
  4. P(X<6) e comentar o cenário mais provável de acordo com essa probabilidade.

Passo 2

Para qualquer XsimBinomial(n,p) vale
E(X)=n,p
Aqui n=10 e p=tfrac14, logo
E(X)=10cdot14=2,5

Passo 3

Também vale
Var(X)=n,p,(1-p)
Substituindo n=10 e p=1/4 temos
Var(X)=10cdot14cdot34 =3016 =158 =1,875

Passo 4

A probabilidade de aprovação é
P(X>=6) =sumk=6^10binom10kl(tfrac14r)^kl(tfrac34r)^10-k
Calculando numericamente, obtemos
P(X>=6)approx0,01974

Passo 5

A probabilidade de reprovação é
P(X<6)=1-P(X>=6) approx1-0,01974 =0,98026
A moda de X é lfloor(n+1)prfloor=lfloor11cdottfrac14rfloor=lfloor2,75rfloor=2, ou seja, o valor mais provável de acertos é 2. Como 2<6, o cenário mais provável ao responder aleatoriamente é o aluno não ser aprovado.

Resposta

(a) E(X)=2,5
(b) Var(X)=tfrac158approx1,875
(c) P(X>=6)approx0,01974
(d) P(X<6)approx0,98026 O cenário mais provável é obter 2 acertos e, portanto, reprovar.

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