Suponha que um professor esteja aplicando uma prova de múltipla escolha com
questões, e que cada questão tenha apenas 1 dentre 4 alternativas corretas. Assumindo que as questões sejam independentes, podemos modelar então a quantidade de questões que um aluno acerte aleatoriamente (isto é, “chutando”) através de uma v.a.
.
a. Calcule
.
b. Calcule var
.
c. Supondo que o número mínimo necessário de questões corretas para que o aluno seja aprovado na prova seja igual a 6, calcule a probabilidade de que o aluno seja aprovado, isto é, calcule
.
d. Com base na sua resposta ao item anterior, calcule a probabilidade de que o aluno não seja aprovado na prova ao responder as questões aleatoriamente. Qual é o cenário mais provável nesse caso? Comente.
a. Calcule
b. Calcule var
c. Supondo que o número mínimo necessário de questões corretas para que o aluno seja aprovado na prova seja igual a 6, calcule a probabilidade de que o aluno seja aprovado, isto é, calcule
d. Com base na sua resposta ao item anterior, calcule a probabilidade de que o aluno não seja aprovado na prova ao responder as questões aleatoriamente. Qual é o cenário mais provável nesse caso? Comente.
Passo 1
O enunciado define uma v.a.
que conta o número de acertos “no chute” numa prova de
questões. Vamos usar as fórmulas da Distribuição Binomial para calcular:
-
-
-
-
e comentar o cenário mais provável de acordo com essa probabilidade.
Passo 2
Para qualquer
vale
Aqui
e
, logo
Passo 3
Também vale
Substituindo
e
temos
Passo 4
A probabilidade de aprovação é
Calculando numericamente, obtemos
Passo 5
A probabilidade de reprovação é
A moda de
é
, ou seja, o valor mais provável de acertos é
. Como
, o cenário mais provável ao responder aleatoriamente é o aluno não ser aprovado.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) O cenário mais provável é obter
acertos e, portanto, reprovar.
(b)
(c)
(d)