Suponha que você esteja jogando um jogo contra um amigo, e que sua probabilidade de vitória seja igual a p, onde 0 <= p <= 1. Caso você ganhe, seu ganho é de 1 unidade (de alguma coisa que você goste, talvez chocolate ou cerveja); porém, caso você perca, você deve dar 1 unidade da mesma coisa para seu amigo.
Em termos de variáveis aleatórias, esse jogo pode ser definido formalmente pela distribuição de Y:=2 cdot X-1, onde X sim Bernoulli(p)Temosaqui então
P(Y=-1)=1-p, P(Y=1)=p,
o que caracteriza exatamente o problema descrito acima.
a. Calcule o valor esperado do jogo, E(Y) (Dica: confira sua resposta utilizando a propriedade de mudança de locação e escala de E(X) ).
b. Calcule agora a variância do jogo, var(Y) (Dica: confira sua resposta utilizando a propriedade de mudança de locação e escala de var(X) ).
c. Com base nas suas respostas anteriores, o que acontece com E(Y) e var(Y) quando p=1 / 2 ? Você diria que isso faz sentido? Comente.

Passo 1

O enunciado define um jogo em que você ganha 1 com probabilidade p e perde 1 com probabilidade 1-p. Formalmente, seja XsimBernoulli(p) (onde X=1 se você ganha e X=0 se você perde) e
Y = 2X - 1,
de modo que
P(Y=1)=p e P(Y=-1)=1-p.
O que se pede é:
a) E(Y), b) var(Y) e c) analisar esses resultados para p=tfrac12.

Passo 2

Para calcular E(Y) usamos a propriedade de mudança de escala e locação:
E(Y)=E(2X-1)=2,E(X)-1
Como E(X)=p para uma Bernoulli (p), obtemos
E(Y)=2p-1

Passo 3

Para calcular var(Y) podemos usar a mesma propriedade de transformação:
var(Y)=var(2X-1)=2^2,var(X)=4,var(X)
E como var(X)=p(1-p) para Bernoulli (p), segue
var(Y)=4,p(1-p)

Passo 4

Agora, para p=tfrac12:
E(Y)=2cdottfrac12-1=0,
var(Y)=4cdottfrac12l(1-tfrac12r)=4cdottfrac14=1
Isso faz sentido pois em p=tfrac12 o jogo é justo (esperança zero) e a incerteza é máxima, gerando variância igual a 1.Para p=0 ou p=1 a variância cai a zero, pois o resultado fica certo.

Resposta

a) E(Y)=2p-1.
b) var(Y)=4p(1-p).
c) Para p=tfrac12, E(Y)=0 e var(Y)=1, o que condiz com um jogo justo de máxima incerteza.

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