Suponha que você esteja jogando um jogo contra um amigo, e que sua probabilidade de vitória seja igual a
, onde
. Caso você ganhe, seu ganho é de 1 unidade (de alguma coisa que você goste, talvez chocolate ou cerveja); porém, caso você perca, você deve dar 1 unidade da mesma coisa para seu amigo.
Em termos de variáveis aleatórias, esse jogo pode ser definido formalmente pela distribuição de
, onde
então
o que caracteriza exatamente o problema descrito acima.
a. Calcule o valor esperado do jogo,
(Dica: confira sua resposta utilizando a propriedade de mudança de locação e escala de
).
b. Calcule agora a variância do jogo,
(Dica: confira sua resposta utilizando a propriedade de mudança de locação e escala de
).
c. Com base nas suas respostas anteriores, o que acontece com
e
quando
? Você diria que isso faz sentido? Comente.
a. Calcule o valor esperado do jogo,
b. Calcule agora a variância do jogo,
c. Com base nas suas respostas anteriores, o que acontece com
Passo 1
O enunciado define um jogo em que você ganha
com probabilidade
e perde
com probabilidade
. Formalmente, seja
(onde
se você ganha e
se você perde) e
de modo que
e
.
O que se pede é:
a) , b)
e c) analisar esses resultados para
.
O que se pede é:
a)
Passo 2
Para calcular
usamos a propriedade de mudança de escala e locação:
Como
para uma Bernoulli
, obtemos
Passo 3
Para calcular
podemos usar a mesma propriedade de transformação:
E como
para Bernoulli
, segue
Passo 4
Agora, para
:
Isso faz sentido pois em
o jogo é justo (esperança zero) e a incerteza é máxima, gerando variância igual a
.Para
ou
a variância cai a zero, pois o resultado fica certo.
Resposta
a)
.
b) .
c) Para ,
e
, o que condiz com um jogo justo de máxima incerteza.
b)
c) Para