Sejam X1, X2 e X3 uma amostra i.i.d. da variável aleatória X com E[X]=theta e Var[X]=2 e considere os seguintes estimadores:
theta1=barX=X1+X2+X33 e theta2=X14+X24+X32
Tendo que estimar theta você, como estatístico, escolheria qual estimador? Por quê?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma amostra independente e identicamente distribuída (i.i.d.) hattheta1 = bar X = X1 + X2 + X33, hattheta2 = X14 + X24 + X32 de uma variável com e . Querem comparar dois estimadores de :
O conteúdo aqui é estimadores pontuais: vamos ver se cada estimador é viesado ou não e calcular a variância deles, porque quanto menor a variância (mantendo o estimador não-viesado), melhor.

Passo 2

Primeiro, a gente revisa o que é estimador não-viesado. Um estimador E[hattheta] = theta é não-viesado quando
E[hattheta1] = E[X1] + E[X2] + E[X3]3 = theta + theta + theta3 = theta
– Para E[hattheta2] = 14theta + 14theta + 12theta = (tfrac14 + tfrac14 + tfrac12)theta = theta :
Então é não-viesado.
– Para :
Então também é não-viesado.

Passo 3

Agora, calculamos as variâncias. Como os Varl(sum ai Xir) = sum ai^2,Var(Xi) são independentes,
Var(hattheta1) = Var!l(tfrac13X1 + tfrac13X2 + tfrac13X3r) = tfrac19l(Var(X1)+Var(X2)+Var(X3)r) = tfrac19times 3times 2 = tfrac69 = tfrac23
Para Var(hattheta2) = Var!l(tfrac14X1 + tfrac14X2 + tfrac12X3r) = 2l[l(tfrac14r)^2 + l(tfrac14r)^2 + l(tfrac12r)^2r] = 2l(tfrac116 + tfrac116 + tfrac14r) = 2cdot tfrac38 = tfrac34 :
Para :

Passo 4

Ambos os estimadores são não-viesados, então o critério pra escolher o “melhor” é ver qual tem menor variância, porque menor variância significa estimativa mais estável.
Comparando com , o é menor.

Resposta

Eu escolheria , porque ele é não-viesado e tem variância , menor que a variância de .

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