Sejam
e
uma amostra i.i.d. da variável aleatória
com
e
e considere os seguintes estimadores:
Tendo que estimar
você, como estatístico, escolheria qual estimador? Por quê?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma amostra independente e identicamente distribuída (i.i.d.)
de uma variável
com
e
. Querem comparar dois estimadores de
:
O conteúdo aqui é estimadores pontuais: vamos ver se cada estimador é viesado ou não e calcular a variância deles, porque quanto menor a variância (mantendo o estimador não-viesado), melhor.
Passo 2
Primeiro, a gente revisa o que é estimador não-viesado. Um estimador
é não-viesado quando
– Para
:
Então
é não-viesado.
– Para
:
Então
também é não-viesado.
Passo 3
Agora, calculamos as variâncias. Como os
são independentes,
Para
:
Para
:
Passo 4
Ambos os estimadores são não-viesados, então o critério pra escolher o “melhor” é ver qual tem menor variância, porque menor variância significa estimativa mais estável.
Comparando
com
, o
é menor.
Resposta
Eu escolheria
, porque ele é não-viesado e tem variância
, menor que a variância
de
.