Vimos que o estimador de máxima verossimilhança de sigma^2, de uma distribuição normal, é dado por:
sigma^2=sumi=1^n(Xi-barX)^2n ou sigma^2=1n(sumi=1^n Xi^2-n barX^2)
Sabendo que, no caso da distribuição normal, temos:
V(S^2)=2 sigma^4n-1
Obtenha agora V(sigma^2), utilizando: o fato acima, a expressão obtida no item anterior, e a propriedade da variância: V(k X)=k^2 V(X).

Passo 1

O exercício pede para calcular a variância do estimador de máxima verossimilhança
S^2 = 1n-1sumi=1^n (Xi - bar X)^2
sabendo que, para a amostra normal, o estimador insesgado
tem .
Conteúdo: propriedades de variância (escala de variáveis) e relação entre e .
Vamos usar a expressão que relaciona esses dois estimadores e a propriedade .

Passo 2

Primeiro, lembrar da relação entre os estimadores.
Por definição,
S^2 = 1n-1sumi=1^n (Xi - bar X)^2 Longrightarrow sumi=1^n (Xi - bar X)^2 = (n-1),S^2
Como hatsigma^2 = 1n,(n-1),S^2 = n-1n;S^2 , temos

Passo 3

Agora usamos a propriedade da variância para constante V(hatsigma^2) = V!l(k,S^2r) = k^2,V(S^2) = l(n-1nr)^!2;2sigma^4,n-1, :
V(hatsigma^2) = (n-1)^2n^2;2sigma^4n-1 = 2sigma^4,(n-1)n^2
Basta simplificar:

Resposta

boxedVl(hatsigma^2r) ;=;2,sigma^4,(n-1)n^2

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