Seja
uma v.a. geometricamente distribuída com parâmetro
. Seja
isto é,
onde
é uma constante inteira. Determine a distribuição de
.
Passo 1
O enunciado define uma v.a. discreta X ~ geom§ (suporte {1,2,…}) e depois Y = min(X,M), com M inteiro fixo. O conteúdo aqui é transformar a distribuição de X pela função Y=min(X,M), usando a pmf da geométrica e a probabilidade de cauda.
Passo 2
Para valores y em {1,…,M−1} a igualdade Y=y ocorre exatamente quando X=y. Logo aplicamos diretamente a pmf da geométrica:
Passo 3
Para y=M, temos Y=M sempre que X≥M. Então usamos a probabilidade de cauda da geométrica:
Passo 4
Vale checar rapidamente que a soma das probabilidades dá 1:
Resposta
Para y=1,2,…,M−1,
. Para y=M,
.