Seja X uma v.a. geometricamente distribuída com parâmetro p. Seja
Y= X, & se X= M
isto é, Y=min (X, M) onde M é uma constante inteira. Determine a distribuição de Y.

Passo 1

O enunciado define uma v.a. discreta X ~ geom§ (suporte {1,2,…}) e depois Y = min(X,M), com M inteiro fixo. O conteúdo aqui é transformar a distribuição de X pela função Y=min(X,M), usando a pmf da geométrica e a probabilidade de cauda.

Passo 2

Para valores y em {1,…,M−1} a igualdade Y=y ocorre exatamente quando X=y. Logo aplicamos diretamente a pmf da geométrica:
P(Y=y)=P(X=y)=(1-p)^y-1p, y=1,2,dots,M-1

Passo 3

Para y=M, temos Y=M sempre que X≥M. Então usamos a probabilidade de cauda da geométrica:
P(Y=M)=P(X>= M)=(1-p)^M-1

Passo 4

Vale checar rapidamente que a soma das probabilidades dá 1:
sumy=1^M-1(1-p)^y-1p + (1-p)^M-1=1-(1-p)^M-1+(1-p)^M-1=1

Resposta

Para y=1,2,…,M−1, P(Y=y)=(1-p)^y-1p. Para y=M, P(Y=M)=(1-p)^M-1.

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