Sejam y=y(x), z=z(x) funções diferenciáveis em \mathbb{R} e dadas implicitamente pelo sistema
\left\{\begin{array}{c} 2 x+y-z=3 \\\ x+y+z=1 \end{array}\right.
(a) Calcule \frac{d y}{d x} \mathrm{e} \frac{d z}{d x};
(b) Determine um par de funções y=y(x) e z=z(x) que sejam dadas implicitamente pelo sistema (1).

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções y=y(x) e z=z(x) diferenciáveis em \mathbb{R}, relacionadas implicitamente pelo sistema
\left\{\begin{array}{r} 2x+y-z=3\\[4pt] x+y+z=1 \end{array}\right.
O que o problema pede:
  • (a) Calcular \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{dz}{dx}.
  • (b) Determinar explicitamente um par de funções y=y(x) e z=z(x) que satisfaçam o sistema.
Informações relevantes dadas:
  • As duas equações lineares relacionam x, y(x) e z(x).
  • As funções são diferenciáveis, então podemos diferenciar equações em que aparecem y(x) e z(x).]

Passo 2

Conceito e ferramenta que vou usar (aula rápida de implicitamente diferenciar):
  • Quando temos uma igualdade que envolve y(x) e z(x), podemos derivar ambos os lados em relação a x.
  • A derivada de y(x) em relação a x é \dfrac{dy}{dx}, que chamarei também de y'. A derivada de z(x) é \dfrac{dz}{dx}=z'.
  • Regra usada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante é 0; a derivada de x é 1; a derivada de 2x é 2. Não há produto nem composição complicada aqui, apenas a derivada direta de termos lineares.

Passo 3

Aplicando a diferenciação termo a termo às duas equações:
  • Derivando a primeira equação 2x+y-z=3 em relação a x:
\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(y)-\frac{d}{dx}(z)=\frac{d}{dx}(3).
Usando as regras citadas: \frac{d}{dx}(2x)=2, \frac{d}{dx}(y)=y', \frac{d}{dx}(z)=z', \frac{d}{dx}(3)=0. Logo obtemos
2+y'-z'=0.
Isolando os derivadas:
y'-z'=-2.
  • Derivando a segunda equação x+y+z=1:
\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(z)=\frac{d}{dx}(1).
Novamente: \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(1)=0. Portanto
1+y'+z'=0,
ou
y'+z'=-1.
Agora temos um sistema linear para y' e z':
\left\{\begin{array}{r} y'-z'=-2\\[4pt] y'+z'=-1 \end{array}\right.]

Passo 4

Resolver o sistema para y' e z'.
  • Soma as duas equações para eliminar z':
(y'-z')+(y'+z') = -2 + (-1) \quad\Rightarrow\quad 2y'=-3.
Logo
y'=\frac{-3}{2}.
  • Usando y'+z'=-1 para encontrar z':
z'=-1-y'=-1-\left(-\frac{3}{2}\right)=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto
\frac{dy}{dx}=y'=-\frac{3}{2},\qquad \frac{dz}{dx}=z'=\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora vamos encontrar explicitamente y(x) e z(x) (parte (b)). Aqui fazemos álgebra simples para resolver o sistema linear original em termos de x.
Partimos do sistema
\left\{\begin{array}{r} 2x+y-z=3\\[4pt] x+y+z=1 \end{array}\right.
Uma forma prática é somar as duas equações para eliminar z:
(2x+y-z)+(x+y+z)=3+1 \quad\Rightarrow\quad 3x+2y=4.
Isolando y:
2y=4-3x \quad\Rightarrow\quad y=2-\frac{3}{2}x.
Em seguida, usar a segunda equação x+y+z=1 para obter z:
z=1-x-y = 1-x-\left(2-\frac{3}{2}x\right).
Fazendo as contas:
z=1-x-2+\frac{3}{2}x = -1 +\left(-x+\frac{3}{2}x\right) = -1+\frac{1}{2}x.
Assim obtém-se
y(x)=2-\frac{3}{2}x,\qquad z(x)=-1+\frac{1}{2}x.]

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom para ganhar confiança na prova):
  • Substituindo y(x) e z(x) nas equações originais confirma-se que elas satisfazem o sistema.
  • Derivando essas funções explicitamente dá \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{2} e \dfrac{dz}{dx}=\dfrac{1}{2}, coincidente com o resultado da diferenciação implícita — bom sinal de consistência.
Força aí! Se quiser, faço o mesmo tipo de resolução com uma equação não linear para treinar implicitamente mais um pouco.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{2},\quad \dfrac{dz}{dx}=\dfrac{1}{2}
y(x)=2-\dfrac{3}{2}x,\quad z(x)=-1+\dfrac{1}{2}x

Exercícios relacionados