Sejam
funções diferenciáveis em
e dadas implicitamente pelo sistema
(a) Calcule
;
(b) Determine um par de funções
e
que sejam dadas implicitamente pelo sistema (1).
(b) Determine um par de funções
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções
e
diferenciáveis em
, relacionadas implicitamente pelo sistema
O que o problema pede:
- (a) Calcular
e . - (b) Determinar explicitamente um par de funções
e que satisfaçam o sistema.
Informações relevantes dadas:
- As duas equações lineares relacionam
, e . - As funções são diferenciáveis, então podemos diferenciar equações em que aparecem
e .]
Passo 2
Conceito e ferramenta que vou usar (aula rápida de implicitamente diferenciar):
- Quando temos uma igualdade que envolve
e , podemos derivar ambos os lados em relação a . - A derivada de
em relação a é , que chamarei também de . A derivada de é . - Regra usada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante é
; a derivada de é ; a derivada de é . Não há produto nem composição complicada aqui, apenas a derivada direta de termos lineares.
Passo 3
Aplicando a diferenciação termo a termo às duas equações:
- Derivando a primeira equação
em relação a :
Usando as regras citadas:
,
,
,
. Logo obtemos
Isolando os derivadas:
- Derivando a segunda equação
:
Novamente:
,
. Portanto
ou
Agora temos um sistema linear para
e
:
Passo 4
Resolver o sistema para
e
.
- Soma as duas equações para eliminar
:
Logo
- Usando
para encontrar :
Portanto
Passo 5
Agora vamos encontrar explicitamente
e
(parte (b)). Aqui fazemos álgebra simples para resolver o sistema linear original em termos de
.
Partimos do sistema
Partimos do sistema
Uma forma prática é somar as duas equações para eliminar
:
Isolando
:
Em seguida, usar a segunda equação
para obter
:
Fazendo as contas:
Assim obtém-se
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom para ganhar confiança na prova):
- Substituindo
e nas equações originais confirma-se que elas satisfazem o sistema. - Derivando essas funções explicitamente dá
e , coincidente com o resultado da diferenciação implícita — bom sinal de consistência.
Força aí! Se quiser, faço o mesmo tipo de resolução com uma equação não linear para treinar implicitamente mais um pouco.