Considere a equação a derivadas parciais
2 \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0 .
Com argumentos geométricos, obtenha a solução da equação acima;

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial parcial
2\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0
e pede: obter a solução geral f(x,y) usando argumentos geométricos.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação relaciona as derivadas parciais de f em x e y.
  • Os coeficientes são constantes: 2 (multiplicando \partial f/\partial x) e 1 (multiplicando \partial f/\partial y).
  • A tarefa é encontrar a família de funções f que satisfazem essa igualdade para todo (x,y).

Passo 2

Interpretação geométrica: pense no vetor (2,1) no plano (x,y). A derivada direcional de f na direção de um vetor v=(v_1,v_2) é dada pelo produto escalar do gradiente de f com v, ou seja
\text{derivada direcional de }f\text{ na direção }v = \nabla f\cdot v = f_x v_1 + f_y v_2.çã
Aplicando isso ao vetor v=(2,1) obtemos exatamente o lado esquerdo da equação:
\nabla f\cdot(2,1)=2f_x+1\cdot f_y.
Portanto a equação \,2f_x+f_y=0 diz que a derivada direcional de f na direção (2,1) é zero.

Passo 3

Consequência geométrica: se a derivada direcional de f na direção (2,1) é zero, então f é constante ao longo de cada reta que é tangente a (2,1). Essas retas são as curvas no plano cujas tangentes têm direção (2,1). Para achá-las, escrevemos a equação das curvas características como uma relação entre dy e dx:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2},
pois o vetor tangente (dx,dy) deve ser paralelo a (2,1), logo dy/dx = 1/2.

Passo 4

Integramos a equação ordinária \,dy/dx=1/2:
y=\frac{1}{2}x + C,
onde C é constante ao longo de cada reta característica. Reescrevendo em forma conveniente, obtemos que a combinação linear
2y - x
é constante ao longo de cada característica (multiplicando por 2 a expressão anterior: 2y-x=2C). Chamemos essa quantidade de invariável u:
u:=2y-x.
Portanto cada reta característica corresponde a um valor fixo de u.

Passo 5

Como f é constante ao longo de cada característica, f só pode variar quando u varia. Isso significa que f depende apenas de u. Logo a solução geral pode ser escrita como
f(x,y)=F(2y-x),
onde F é uma função arbitrária (suficientemente diferenciável) de uma única variável. Essa F representa a liberdade da solução geral.

Passo 6

Verificação direta (para fixar a ideia): suponha f(x,y)=F(2y-x). Calculemos as derivadas parciais passo a passo usando a regra da cadeia.
Primeiro, o argumento de F é u=2y-x. Portanto
\frac{\partial u}{\partial x}=-1,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2.
Aplicando a regra da cadeia,
f_x = F'(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x} = F'(2y-x)\cdot(-1),
f_y = F'(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial y} = F'(2y-x)\cdot 2.
Agora substituímos na equação:
2f_x+f_y = 2\big(F'(2y-x)(-1)\big) + \big(F'(2y-x)\cdot 2\big) = -2F' + 2F' = 0.
Portanto qualquer F dá uma solução verdadeira.

Passo 7

Comentário sobre unicidade e condições iniciais: a solução geral f(x,y)=F(2y-x) contém uma função arbitrária F. Se for dada uma condição adicional (por exemplo, valor de f em uma curva transversal às características), essa condição determina F e então fixa uma solução única. Exemplo concreto: se f(x,0)=\sin(x), então ao colocar y=0 temos f(x,0)=F(-x)=\sin(x), então F(t)=\sin(-t)=-\sin(t) e a solução seria f(x,y)=-\sin(2y-x).

Passo 8

Resumo final (motivação didática): a ideia geométrica principal foi ver a equação como dizendo que f é constante na direção (2,1). Isso transforma o problema de PDE em encontrar a combinação linear 2y-x que rotula cada reta característica; a solução é simplesmente uma função arbitrária dessa combinação.

Resposta

\displaystyle f(x,y)=F(2y-x), onde F é uma função arbitrária (suficientemente diferenciável) de uma variável.

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