Considere a equação a derivadas parciais
Com argumentos geométricos, obtenha a solução da equação acima;
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial parcial
e pede: obter a solução geral
usando argumentos geométricos.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação relaciona as derivadas parciais de
em e . - Os coeficientes são constantes:
(multiplicando ) e (multiplicando ). - A tarefa é encontrar a família de funções
que satisfazem essa igualdade para todo .
Passo 2
Interpretação geométrica: pense no vetor
no plano
. A derivada direcional de
na direção de um vetor
é dada pelo produto escalar do gradiente de
com
, ou seja
Aplicando isso ao vetor
obtemos exatamente o lado esquerdo da equação:
Portanto a equação
diz que a derivada direcional de
na direção
é zero.
Passo 3
Consequência geométrica: se a derivada direcional de
na direção
é zero, então
é constante ao longo de cada reta que é tangente a
. Essas retas são as curvas no plano cujas tangentes têm direção
. Para achá-las, escrevemos a equação das curvas características como uma relação entre
e
:
pois o vetor tangente
deve ser paralelo a
, logo
.
Passo 4
Integramos a equação ordinária
:
onde
é constante ao longo de cada reta característica. Reescrevendo em forma conveniente, obtemos que a combinação linear
é constante ao longo de cada característica (multiplicando por
a expressão anterior:
). Chamemos essa quantidade de invariável
:
Portanto cada reta característica corresponde a um valor fixo de
.
Passo 5
Como
é constante ao longo de cada característica,
só pode variar quando
varia. Isso significa que
depende apenas de
. Logo a solução geral pode ser escrita como
onde
é uma função arbitrária (suficientemente diferenciável) de uma única variável. Essa
representa a liberdade da solução geral.
Passo 6
Verificação direta (para fixar a ideia): suponha
. Calculemos as derivadas parciais passo a passo usando a regra da cadeia.
Primeiro, o argumento de é
. Portanto
Primeiro, o argumento de
Aplicando a regra da cadeia,
Agora substituímos na equação:
Portanto qualquer
dá uma solução verdadeira.
Passo 7
Comentário sobre unicidade e condições iniciais: a solução geral
contém uma função arbitrária
. Se for dada uma condição adicional (por exemplo, valor de
em uma curva transversal às características), essa condição determina
e então fixa uma solução única. Exemplo concreto: se
, então ao colocar
temos
, então
e a solução seria
.
Passo 8
Resumo final (motivação didática): a ideia geométrica principal foi ver a equação como dizendo que
é constante na direção
. Isso transforma o problema de PDE em encontrar a combinação linear
que rotula cada reta característica; a solução é simplesmente uma função arbitrária dessa combinação.