Sejam z=2-2 i mid e w=-raiz3+i. Represente os seguintes números complexos no plano complexo:
barw^3

Passo 1

O enunciado pede para representar bar w^3 no plano complexo, usando como base o número w = -raiz3 + i. Vamos precisar usar a forma polar de w, a propriedade de conjugação re^itheta = re^-itheta e a potência em forma polar.

Passo 2

Começamos encontrando o conjugado de w. Como w = -raiz3 + i, temos
bar w = -raiz3 - i

Passo 3

Agora representamos bar w em forma polar. O módulo é
|bar w| = raiz(-raiz3)^2 + (-1)^2 = raiz3 + 1 = 2
O argumento de w era arg w = 5pi/6, portanto argbar w = -5pi/6. Logo podemos escrever
bar w = 2 e^-i5pi/6

Passo 4

Para elevar bar w ao cubo, usamos a regra da forma polar:
bar w^3 = 2^3 e^-i5pi/6 cdot 3 = 8 e^-i5pi/2
Note que -5pi/2 = -2pi - pi/2, equivalente a -pi/2) módulo 2pi.

Passo 5

Convertendo de volta para a forma algébrica, temos
8 e^-ipi/2 = 8(cos(-pi/2) + isin(-pi/2)) = 8(0 - i) = -8i
Isso corresponde ao ponto de coordenadas (0,-8) no plano complexo.

Resposta

-8i, ou seja, o ponto (0,-8) no plano complexo.

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